##  [Déduction Naturelle](/fr/node/60020) 

 Définition

Une technique de calcul des preuves qui dérive des conclusions à partir d'hypothèses en appliquant des règles d'introduction et d'élimination pour chaque connecteur logique et quantificateur ; les preuves sont organisées en enchaînements d'applications de règles plutôt qu'en instanciations de schémas d'axiomes.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Chaque connecteur logique et quantificateur est régi par des règles complémentaires d'introduction et d'élimination permettant des pas locaux préservant le sens, conduisant des hypothèses aux conclusions.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour prouver A ∧ B à partir d'hypothèses, on applique l'introduction de la conjonction (∧-intro) en démontrant séparément A et B ; pour exploiter A ∧ B, on utilise l'élimination de la conjonction (∧-elim) pour obtenir l'un des conjonctes lorsque nécessaire.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer les règles d'introduction/élimination comme des heuristiques facultatives et omettre la libération d'hypothèses temporaires (par exemple ne pas libérer une hypothèse dans →-intro) conduit à des preuves invalides ou non fermées.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Correctement utilisée, la déduction naturelle produit des preuves reflétant le rôle inférentiel des connecteurs, facilite la lisibilité, correspond à un raisonnement informel et rend applicables les procédés de normalisation (élimination des coupes / réduction de preuve).

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est un calcul axiomatique qui déduit des théorèmes à partir d'un ensemble fixe de schémas d'axiomes et de quelques règles d'inférence ; au lieu de règles locales d'introduction/élimination, il construit des chaînes globales depuis les axiomes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique principalement aux logiques propositionnelle et du premier ordre avec règles d'introduction/élimination bien définies ; les extensions (modales, sous-structurales) exigent des règles adaptées et peuvent rompre certaines propriétés de normalisation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre en tension avec les systèmes hilbertiens : la déduction naturelle met l'accent sur le sens et la structure locale des règles, tandis que les systèmes hilbertiens privilégient des ensembles minimaux de règles et la compacité de la dérivabilité.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La déduction naturelle est un cadre de preuve fondé sur des règles où chaque opérateur logique possède des règles jumelées permettant de construire et déconstruire des formules pas à pas, produisant des preuves qui incarnent le rôle inférentiel des opérateurs.