##  [Insatisfaisabilité](/fr/node/59948) 

 Définition

Propriété d'une formule ou d'un ensemble de formules pour laquelle aucune interprétation, aucun modèle ou aucune affectation ne rend toutes les formules de l'ensemble vraies ; équivalemment, la classe des modèles est vide.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Un ensemble est insatisfaisable lorsque les conditions sémantiques de la logique excluent tout monde possible ou structure susceptible de rendre simultanément vraies toutes ses formules.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

En logique propositionnelle, l'ensemble {p, ¬p} est insatisfaisable car aucune affectation de vérité ne peut rendre p et ¬p vraies ensemble ; en logique du premier ordre, {∀x P(x), ∃x ¬P(x)} est insatisfaisable en sémantique standard.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Qualifier une théorie d'insatisfaisable parce qu'elle ne permet pas de prouver une phrase particulière : l'absence de dérivations n'implique pas nécessairement l'absence de modèles, et des problèmes de décidabilité peuvent masquer l'état de satisfaisabilité.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

L'insatisfaisabilité permet la preuve par contradiction : dériver une contradiction explicite montre qu'aucun modèle ne peut satisfaire les prémisses ; elle motive aussi des méthodes de réfutation automatisées comme la détection SAT/UNSAT.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le concept inverse est la satisfaisabilité ; l'insatisfaisabilité correspond sémantiquement à l'impossibilité d'un modèle, tandis que sur le plan syntaxique elle correspond souvent à la dérivabilité d'une contradiction explicite.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

L'insatisfaisabilité dépend de la sémantique et des hypothèses sur le domaine (par exemple modèles finis vs arbitraires) ; les logiques paraconsistantes modifient le lien entre contradiction et insatisfaisabilité.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Insatisfaisabilité vs incohérence syntaxique : l'insatisfaisabilité est une notion sémantique (absence de modèle), alors que l'incohérence signifie souvent qu'une contradiction est dérivable selon une relation de conséquence particulière ; elles coïncident dans des systèmes sonores et complets mais divergent sinon.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'insatisfaisabilité affirme qu'aucune interprétation ne peut rendre toutes les formules vraies ; c'est le signal sémantique d'une contradiction en théorie des modèles et la base des techniques de réfutation et de recherche de contre‑modèles.