##  [Méthode de Runge–Kutta](/fr/node/59729) 

 Définition

Une famille de schémas d'intégration numériques à pas unique pour équations différentielles ordinaires à valeur initiale qui combinent évaluations pondérées de la dérivée à des étapes intermédiaires afin d'atteindre un ordre d'exactitude et des propriétés de stabilité désirés.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Faire progresser la solution d'un niveau temporel à l'autre en calculant un ensemble d'évaluations d'étapes (pentes) du second membre, les combiner avec des poids spécifiques (tableau de Butcher) et produire une mise à jour consistante d'ordre élevé sans historique multi-pas.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Utiliser un Runge–Kutta classique d'ordre quatre (RK4) pour intégrer y' = f(t,y) : calculer quatre pentes à des instants intermédiaires, les combiner avec les poids 1/6, 1/3, 1/3, 1/6 et mettre à jour y_{n+1} = y_n + h * somme_pondérée pour obtenir une précision locale d'ordre quatre.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer une méthode Runge–Kutta explicite avec un pas temporel trop grand sur une EDO raide peut provoquer une instabilité numérique ; dans des régimes raides, des méthodes implicites ou des variantes RK adaptées aux raideurs sont nécessaires.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Les méthodes Runge–Kutta offrent un contrôle flexible de l'erreur de troncature locale, une adaptation aisée du pas (par paires embarquées) et une évaluation des étapes parallélisable dans certaines implémentations, d'où leur large usage en intégration d'EDO.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Contraste avec les méthodes multipas linéaires : Runge–Kutta n'utilise que l'information du pas courant et des évaluations intermédiaires, tandis que les méthodes multipas s'appuient sur les pas passés et peuvent être plus efficaces pour des problèmes lisses si l'historique est peu coûteux.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Conçues pour problèmes d'EDO à valeur initiale ; les problèmes aux limites, les systèmes d'algébro-différentielles ou les problèmes fortement raides peuvent nécessiter des méthodes spécialisées ou des variantes RK implicites.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre la simplicité des RK explicites et la stabilité des schémas implicites : les RK explicites sont faciles et peu coûteux par étape mais limités par la région de stabilité, tandis que les RK implicites étendent la stabilité au prix de résolutions non linéaires par pas.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Les méthodes Runge–Kutta construisent des intégrateurs mono-étape d'ordre élevé en combinant évaluations dérivées en étapes selon un tableau de Butcher, équilibrant précision, stabilité et coût de calcul selon la raideur du problème et le contrôle du pas.