##  [Principe de Minimax de Courant](/fr/node/59704) 

 Définition

Une caractérisation variationnelle des valeurs propres ordonnées d'un opérateur auto-adjoint (hermitien) ou d'une matrice symétrique : la k-ième plus petite valeur propre est égale à un min–max du quotient de Rayleigh sur les sous-espaces de dimension k.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Ordonner les valeurs propres en extrémisant le quotient de Rayleigh sur des sous-espaces : λ_k = min_{dim S=k} max_{x∈S, ||x||=1} ⟨Ax,x⟩, donnant une règle pour localiser les valeurs propres par une procédure imbriquée de min et max.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une matrice réelle symétrique 3×3, calculer le quotient de Rayleigh R(x)=xᵀAx/xᵀx ; la première valeur propre est le minimum de R sur les sous-espaces de dimension 1, la seconde est le minimum sur les sous-espaces de dimension 2 du maximum de R sur les vecteurs unitaires de ces sous-espaces.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer la formule à des matrices non auto-adjointes ou à des opérateurs sans spectre réel donne des résultats erronés ; traiter des valeurs propres généralisées sans modifier l'espace variationnel constitue une mauvaise application.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fournit des bornes calculables et des approximations variationnelles des valeurs propres, soutient la méthode de Rayleigh–Ritz et garantit des résultats d'entrelacement pour les sous-matrices principales et les restrictions de domaine.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser min et max (un max–min naïf) ou extrémiser sur les complémentaires orthogonaux produit des quantités différentes ; le problème variationnel inversé caractérise les valeurs propres les plus grandes ou des ordonnements différents.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un opérateur auto-adjoint ou une matrice symétrique et un produit scalaire d'espace de Hilbert ; pour les opérateurs en dimension infinie, des hypothèses de compacité ou de spectre discret sont nécessaires pour que la k-ième valeur propre soit bien définie.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Entre en tension avec la description directe fournie par le théorème spectral : la décomposition spectrale donne valeurs propres et vecteurs propres explicitement, tandis que la vue variationnelle de Courant met l'accent sur la caractérisation extrémale utile pour l'approximation.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Principe de Minimax de Courant unit le quotient de Rayleigh, l'optimisation sur sous-espaces et l'ordonnancement spectral en une règle opérationnelle : localiser la k-ième valeur propre en minimisant le pire quotient de Rayleigh sur les sous-espaces de dimension k, valable lorsque l'opérateur est auto-adjoint et la valeur propre bien définie.