##  [Principe du Module Maximum](/fr/node/59680) 

 Définition

Théorème d'analyse complexe affirmant que si f est holomorphe non constante sur un ouvert connexe, alors la valeur absolue |f| ne peut pas atteindre un maximum local intérieur ; tout maximum global de |f| sur un domaine borné se situe sur le bord du domaine sauf si f est constante.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Le module d'une fonction holomorphe se comporte comme une fonction sous-harmonique (log|f| est sous-harmonique), de sorte que les maxima intérieurs sont interdits pour les fonctions holomorphes non constantes ; l'analyticité impose une rigidité des valeurs.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Sur une région bornée D, soit f holomorphe avec |f(z0)| = max_D |f|. La sous-harmonicité de log|f| implique que log|f| est constante, donc f est constante. Exemple concret : un polynôme non constant n'atteint pas son module maximal dans l'intérieur d'un ouvert borné, mais seulement sur une courbe qui en encadre le bord.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer ce principe à des fonctions non holomorphes, à des fonctions méromorphes sans traiter les pôles, ou sur des domaines disjoints ; pour les fonctions harmoniques, le principe du maximum s'applique différemment (à la fonction elle-même, et non à son module).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Corollaires immédiats : le théorème de l'application ouverte (les applications holomorphes non constantes sont ouvertes), la prolongation analytique et de fortes contraintes sur les zéros et les ensembles de niveau ; il sous-tend de nombreux résultats d'unicité et de problèmes extrémaux en analyse complexe.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'énoncé minimal du module nécessite une modification : si f n'a pas de zéros, 1/f est holomorphe et on applique le principe du module maximum à 1/f pour obtenir un principe du minimum pour |f|. Une inversion brute affirmant des minima intérieurs pour une fonction holomorphe quelconque est fausse sauf dans le cas où l'on applique l'astuce réciproque après vérification de l'absence de zéros.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Suppose l'holomorphie sur un ouvert connexe et exclut singularités et points de branchement à l'intérieur du domaine ; les énoncés pour les fonctions méromorphes exigent un traitement séparé des pôles, et pour les fonctions harmoniques ou réelles analytiques la structure diffère.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Proche des principes du maximum pour fonctions harmoniques mais distinct : le principe du module maximum concerne |f| et repose sur l'analyticité (sous-harmonicité de log|f|), tandis que les principes harmoniques portent directement sur des solutions réelles de l'équation de Laplace.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Principe du Module Maximum condense l'analyticité en une affirmation de rigidité : une fonction holomorphe non constante ne peut pas voir son module atteindre un maximum à l'intérieur, ce qui implique l'ouverture des applications holomorphes, des propriétés d'unicité et un contrôle des lieux d'apparition des comportements extrémaux.