## [Coercivité](/fr/node/59671) Définition Condition de croissance inférieure sur une forme bilinéaire a(·,·) ou un opérateur qui affirme a(u,u) ≥ c ||u||^2 pour tout u de l'espace (avec c>0), assurant le contrôle de la norme de la solution et souvent l'unicité et la stabilité dans des problèmes variationnels. ## Principe Principe La coercivité impose un contrôle quadratique positif : la forme bilinéaire domine le carré de la norme et empêche une énergie arbitrairement petite pour des éléments non nuls, permettant ainsi l'inversibilité ou des estimations a priori. ## Démonstration Démonstration Pour l'énergie de Dirichlet a(u,v)=∫_Ω ∇u·∇v + α uv avec α≥0 et conditions aux limites adaptées, l'inégalité de Poincaré donne a(u,u) ≥ c||u||_{H^1_0}^2, montrant la coercivité et donc l'existence et l'unicité via Lax–Milgram. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer la coercivité à partir d'une simple positivité ponctuelle ou d'une majoration ; ou croire à la coercivité sur tout l'espace alors que la forme n'est coercitive que sur un quotient (par ex. modulo le noyau) ou sur un sous-espace restreint. ## Conséquence Conséquence La coercivité correcte fournit des estimations de stabilité, l'unicité des solutions variationnelles, l'inversibilité bornée des opérateurs et la robustesse face aux perturbations ; elle rend les normes d'énergie équivalentes à la norme naturelle. ## Inversion Inversion L'absence de coercivité permet l'existence de suites d'énergie tendant vers zéro mais de norme non nulle, conduisant à la non-unicité, au mauvais conditionnement ou à la nécessité de conditions alternatives comme l'inf-sup (Babuška) ou une régularisation. ## Limite Limite S'applique à des formes bilinéaires sur des espaces normés ou de Hilbert avec une norme choisie ; la constante de coercivité et la norme doivent être précisées. Diffère de la positivité définie si la forme n'est que semi-définie ou si la topologie diffère de l'énergie. ## Tension sémantique Tension sémantique La coercivité est souvent confondue avec l'ellipticité, la definitude positive ou l'uniforme bornitude ; la tension porte sur le fait que la domination soit globale, sur des sous-espaces ou seulement asymptotique. ## Synthèse Synthèse La coercivité est la borne inférieure quantitative d'une forme d'énergie qui contrôle les normes, permettant existence, unicité et stabilité dans les formulations variationnelles lorsqu'elle est associée à la bornitude.