##  [Orthogonalité](/fr/node/59669) 

 Définition

Relation entre deux éléments d'un espace muni d'un produit scalaire (vecteurs, fonctions, etc.) qui est vérifiée lorsque leur produit scalaire est nul ; géométriquement, elle étend la notion de perpendicularité à la géométrie définie par ce produit.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'orthogonalité organise les composantes de sorte que leurs projections se découpent : le produit scalaire est le test algébrique de perpendicularité et d'interaction minimale entre composantes dans cette géométrie.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans R^n avec le produit scalaire euclidien, deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire (ou produit scalaire standard) est nul. Dans L^2(Ω), deux fonctions sont orthogonales si l'intégrale de leur produit est nulle ; des fonctions propres orthogonales d'un opérateur symétrique diagonalisent les formes quadratiques.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre l'annulation ponctuelle du produit avec l'orthogonalité en L^2 (ne pas distinguer presque partout et point par point), ou assimiler orthogonalité et indépendance statistique sans structure probabiliste adéquate.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

La décomposition orthogonale donne une séparation de norme de type pythagoricien, simplifie le calcul des projections, permet la diagonalisation d'opérateurs auto-adjoints et réduit des problèmes couplés à des composantes indépendantes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est l'alignement ou la colinéarité : les éléments sont des multiples scalaires l'un de l'autre et maximisent le produit scalaire au lieu de l'annuler.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Nécessite un produit scalaire (ou au moins une forme bilinéaire symétrique) ; tous les espaces métriques n'offrent pas une notion d'orthogonalité. Dans les espaces à produit scalaire indéfini, les vecteurs isotropes et le signe compliquent les propriétés usuelles.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

L'orthogonalité se situe en tension avec des notions comme l'indépendance linéaire et l'absence de corrélation : des objets indépendants ou non corrélés ne sont pas nécessairement orthogonaux hors du cadre du produit scalaire.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'orthogonalité est la relation du produit scalaire nul qui encode la perpendicularité dans un espace à produit scalaire, entraînant découplage et propriétés de projection utiles à l'analyse lorsque le produit scalaire mesure l'interaction.