##  [Exposant de Lyapunov](/fr/node/59663) 

 Définition

Taux quantitatif qui caractérise la divergence ou la convergence exponentielle moyenne de trajectoires infiniment proches dans un système dynamique, défini typiquement comme la limite asymptotique temporelle du taux de croissance de petites perturbations mesurées par le logarithme du flot tangent ou de la carte variationnelle.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'exposant de Lyapunov est la moyenne à long terme des taux instantanés de croissance exponentielle des perturbations infinitésimales le long d'une trajectoire ; formellement il se calcule comme la limite de (1/t) log ||DΦ^t(v)|| pour un vecteur tangent v sous le flot linéarisé, lorsque cette limite existe.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Pour une application unidimensionnelle itérée sur un intervalle, si une trajectoire x_n est perturbée en δx_n, l'exposant de Lyapunov maximal se déduit des linéarisations successives comme la moyenne temporelle de log |f'(x_n)|. Pour des valeurs de paramètre produisant un comportement chaotique, cette moyenne est positive, indiquant une séparation exponentielle des conditions initiales proches.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Interpréter une augmentation transitoire à court terme des perturbations comme l'exposant de Lyapunov asymptotique, ou calculer des exposants avec une norme inappropriée ou un temps d'intégration insuffisant, conduit à des résultats trompeurs ; de même, appliquer des formules tangent-linéaires à des applications non différentiables ou utiliser des différences finies sans vérifications de convergence est incorrect.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un exposant de Lyapunov maximal positif implique une sensibilité aux conditions initiales et limite la prévisibilité à long terme ; un exposant négatif implique une convergence exponentielle vers un attracteur ou une solution stable. Le spectre des exposants de Lyapunov contraint les variétés invariantes et les dimensions fractales des attracteurs.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Inverser le signe d'un exposant de Lyapunov correspond à échanger divergence et convergence : un système à exposant positif devient contractant si ses paramètres ou sa dynamique sont modifiés pour rendre les exposants négatifs ; les exposants sur temps fini peuvent changer de signe le long des trajectoires même si les exposants asymptotiques ne changent pas.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Les exposants de Lyapunov sont définis pour des systèmes disposant d'une linéarisation bien définie le long des trajectoires (flots lisses ou applications différentiables) et pour des normes sur les espaces tangents ; ils peuvent être mal définis ou nécessiter des généralisations pour des systèmes non différentiables, discontinus ou purement stochastiques dépourvus d'ossature déterministe.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

L'exposant de Lyapunov maximal est souvent confondu avec des mesures de complexité comme l'entropie métrique ou avec des taux de croissance sur temps fini ; contrairement à l'entropie, les exposants de Lyapunov quantifient des taux exponentiels de séparation infinitésimale et exigent une linéarisation, pas seulement de l'imprévisibilité statistique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'exposant de Lyapunov mesure le taux exponentiel asymptotique de croissance des perturbations infinitésimales le long d'une trajectoire ; il relie la linéarisation locale (étirement ou contraction) à des propriétés globales de stabilité, d'attracteurs et de sensibilité aux conditions initiales.