##  [Nombre de Condition](/fr/node/59654) 

 Définition

Grandeur scalaire qui mesure comment des perturbations relatives des données d’entrée d’un problème sont amplifiées en perturbations relatives de sa solution ; pour un système linéaire Ax = b avec A inversible et une norme choisie, le nombre de conditionnement matriciel est ||A||·||A^{-1}||.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Propagation des erreurs relatives : les variations relatives de premier ordre de la sortie sont majorées proportionnellement au nombre de conditionnement multiplié par les variations relatives de l’entrée, de sorte que ce nombre organise la sensibilité aux perturbations de données indépendamment d’un algorithme particulier.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Résoudre Ax = b lorsque A est presque singulière entraîne de grands changements de x pour de petites variations de b ; par exemple, les matrices de type Hilbert présentent une croissance rapide de ||A||·||A^{-1}||, ce qui signale une perte de chiffres significatifs dans les solutions calculées.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Utiliser le nombre de conditionnement d’une matrice de coefficients comme prédicteur définitif de la précision algorithmique sans tenir compte de la norme choisie, de la mise en forme du problème (p. ex. le recadrage) ou de la stabilité numérique de l’algorithme est erroné.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Un grand nombre de conditionnement avertit qu’une forte erreur relative ou une perte de précision est possible et incite à préconditionner, régulariser ou reformuler pour améliorer la fiabilité des solutions calculées.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Un problème dont le nombre de conditionnement est proche de un est bien conditionné : de petites perturbations des entrées entraînent de faibles variations proportionnelles de la sortie et les méthodes numériques usuelles préservent généralement la précision.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Le nombre de conditionnement est une propriété du problème mathématique (par rapport à une norme et une application solution), non d’une implémentation ; il devient infini pour les applications linéaires non inversibles et dépend du choix de la norme.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Souvent confondu avec la stabilité numérique (propriété d’un algorithme) ; le nombre de conditionnement quantifie la sensibilité inhérente du problème, tandis que la stabilité décrit comment un algorithme amplifie ses propres erreurs.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le nombre de conditionnement caractérise en un seul nombre la sensibilité intrinsèque : pour un problème normé et une application solution, il borne l’erreur relative de sortie due aux perturbations relatives d’entrée et oriente les remèdes (mise à l’échelle, préconditionnement, régularisation).