## [Consistence](/fr/node/59649) Définition Propriété d'une formulation discrète ou approchée selon laquelle sa formulation locale reproduit les relations régissant le problème exact (souvent continu) dans la limite du raffinement idéal ; s'exprime classiquement par l'annulation de l'erreur locale de troncature lorsque la taille du maillage ou du pas tend vers zéro. ## Principe Principe Une méthode est consistante si la différence entre l'opérateur discret et l'opérateur continu appliqué à des fonctions suffisamment lisses tend vers zéro sous raffinement idéal ; la consistance est une condition nécessaire à la convergence mais n'est pas suffisante sans stabilité. ## Démonstration Démonstration Une approximation en différences finies de la dérivée première utilisant un schéma centré à trois points : l'expansion de Taylor montre que l'erreur de troncature est O(h^2), qui tend vers zéro quand l'espacement h→0, démontrant la consistance de la discrétisation. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que démontrer la consistance suffit à garantir que les solutions numériques convergent vers la solution exacte sur un maillage donné ; négliger la nécessité de vérifier la stabilité ou de tenir compte des erreurs d'approximation aux frontières. ## Conséquence Conséquence Une discrétisation consistante garantit que, si le schéma est stable, la solution numérique peut converger vers la solution exacte lorsque le paramètre de raffinement tend vers sa limite ; elle légitime donc le raffinement pour atteindre l'exactitude. ## Inversion Inversion Inconsistance : les équations discrètes n'approximant pas les relations continues à la limite de raffinement, des discrétisations arbitrairement fines peuvent conserver un biais fini et empêcher la convergence vers la solution exacte. ## Limite Limite S'applique aux discrétisations formelles et formulations approximées dérivées d'équations exactes ; ne quantifie pas le taux de convergence ni ne garantit la stabilité, et les notions classiques de consistance supposent la régularité suffisante de la solution cible. ## Tension sémantique Tension sémantique La consistance est parfois confondue avec la convergence ou la stabilité ; contrairement à la convergence (un résultat asymptotique) ou à la stabilité (la réponse aux perturbations), la consistance concerne la compatibilité algébrique des opérateurs sous raffinement. ## Synthèse Synthèse La consistance est la compatibilité algébrique entre formulations discrètes et exactes dans la limite de raffinement ; c'est le prérequis structurel qui, conjugué à la stabilité, permet la convergence et finalement des approximations exactes.