##  [Itération du Point Fixe](/fr/node/59625) 

 Définition

Une procédure itérative qui cherche un point fixe x = G(x) d'un opérateur G en appliquant G à plusieurs reprises à une estimation initiale : x_{k+1} = G(x_k). La convergence dépend de la contractivité ou de propriétés analogues de G.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'idée organisatrice est de reformuler le problème comme la recherche d'un point auto-consistant d'une application puis d'utiliser l'application répétée de cette application ; le théorème du point fixe de Banach donne une condition suffisante simple (contraction) garantissant point fixe unique et convergence linéaire.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Résoudre x = cos(x) en itérant x_{k+1} = cos(x_k) à partir de x_0 ; comme cos est une contraction sur [0,1], les itérés convergent vers le point fixe unique ≈0,739085, illustrant l'itération de Picard pour une équation non linéaire scalaire.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Appliquer l'itération de point fixe naïve à une application ayant une constante de Lipschitz ≥1 ou sans préconditionnement approprié peut échouer à converger ou converger très lentement ; choisir une mauvaise reformulation G(x) de f(x)=0 peut empêcher tout progrès.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Quand l'application est contractante ou convenablement amortie, l'itération de point fixe fournit un solveur simple et robuste avec convergence linéaire prévisible et faible coût par itération ; elle est à la base de nombreux schémas itératifs dont la linéarisation de Picard pour les EDP.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Le contraste est avec la linéarisation de Newton : au lieu d'appliquer répétitivement l'application d'origine, Newton résout des corrections linéarisées offrant une convergence locale potentiellement plus rapide (superlinéaire ou quadratique) au prix de la résolution de systèmes linéaires.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Applicable lorsqu'on peut construire une application G dont les points fixes sont équivalents au problème initial et qui possède des propriétés contractantes ou moyennées ; exclut les applications non continues ou les problèmes où seule une convergence rapide basée sur des dérivées est acceptable.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec Newton et les méthodes quasi-Newton : l'itération de point fixe est moins coûteuse et plus simple, mais plus lente ; il existe aussi une tension avec les variantes accélérées ou multi-étapes qui ajoutent mémoire ou mélange pour améliorer la convergence.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

L'itération de point fixe reformule un problème comme x = G(x) et applique G de manière répétée, en s'appuyant sur la contractivité ou l'amortissement pour la convergence ; elle est conceptuellement simple, à faible coût par itération et sert de base à de nombreux algorithmes de linéarisation et de décomposition, mais sa vitesse dépend fortement des propriétés de l'opérateur.