##  [Fonction de Green](/fr/node/59602) 

 Définition

Un noyau G(x,s) représentant la réponse d'un opérateur différentiel linéaire L à une source ponctuelle (distribution δ) située en s, de sorte que L[G(·,s)]=δ(·−s). Il sert à construire des solutions particulières de problèmes aux limites linéaires inhomogènes par convolution ou intégration contre le terme source.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Principe de superposition pour opérateurs linéaires : comme L est linéaire, la réponse à une source générale f(x) s'exprime comme l'intégrale du noyau de Green contre f, donnant u(x)=∫G(x,s)f(s)ds, complétée par les solutions homogènes imposées par les conditions aux limites.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Résolution de l'équation de Poisson −Δu=f dans R^n : la solution fondamentale pour −Δ fournit un noyau tel que u est la convolution de f avec ce noyau ; dans un domaine borné on adapte le noyau pour satisfaire les conditions aux limites et on obtient u(x)=∫_Ω G(x,s)f(s)ds.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer une fonction de Green dérivée pour un opérateur différent ou pour l'espace libre sans tenir compte des conditions aux limites ni des coefficients de l'opérateur ; appliquer la formule de superposition à une EDP non linéaire dépendant de u.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Bien identifiée et combinée avec la solution homogène, la fonction de Green transforme une EDP inhomogène en une représentation intégrale explicite ; elle révèle l'influence des sources localisées et facilite le calcul analytique et numérique des solutions.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Plutôt que de représenter la réponse à une impulsion ponctuelle (impulsion→réponse), le problème inverse consiste à déduire la distribution des sources à partir de réponses observées ; inverser la relation intégrale conduit à la reconstruction des sources plutôt qu'à la représentation directe par Green.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique uniquement aux opérateurs linéaires (éventuellement en distribution) et requiert généralement des conditions aux limites ; elle n'existe pas ou n'est pas utile pour des opérateurs non linéaires génériques ou lorsqu'aucune solution fondamentale satisfaisant les conditions physiques ne peut être trouvée.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Fonction de Green comme solution fondamentale distributionnelle versus noyau adapté aux conditions aux limites : la première est l'inverse universel en espace libre, la seconde est une construction spécifique au problème qui impose les frontières ; ces deux sens entrent en tension terminologique.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La fonction de Green est le noyau de l'inverse d'un opérateur linéaire en EDP : elle encode la réponse à une source ponctuelle et, par superposition et intégration, produit des solutions particulières compatibles avec l'opérateur et les conditions aux limites.