## [Fonctionnelle](/fr/node/59586) Définition Une application d'un espace de fonctions vers les réels ou les complexes (ou plus généralement vers un corps), représentant souvent une évaluation, un coût ou une quantité à optimiser en problèmes variationnels. ## Principe Principe Condense l'information relative à des fonctions entières en résumés scalaires par des applications linéaires ou non linéaires sensibles à des propriétés globales (intégrales, suprema, valeurs au bord), permettant le calcul des variations et la dualité. ## Démonstration Démonstration La fonctionnelle I[f] = ∫_0^1 f(x)^2 dx définie sur L^2(0,1) est une fonctionnelle (non linéaire) donnant le carré de la norme L^2 ; l'évaluation f ↦ f(x0) est une fonctionnelle linéaire sur les espaces de fonctions continues en x0 fixé. ## Mauvaise application Mauvaise application Confondre une fonctionnelle avec une fonction (application de R ou R^n) conduit à des erreurs de catégorie : traiter l'argument comme un point plutôt que comme une fonction entière invalide des notions de dérivée comme la dérivée de Gateaux ou de Fréchet. ## Conséquence Conséquence Une utilisation correcte des fonctionnelles permet de formuler et résoudre des problèmes variationnels, d'obtenir les conditions d'Euler–Lagrange et de construire des problèmes duaux et des théorèmes de représentant dans des espaces à noyau reproduisant. ## Inversion Inversion L'inversion est une fonction ponctuelle : un objet qui assigne des valeurs à des points du domaine plutôt qu'à des fonctions entières ; de même, un opérateur envoyant fonctions sur fonctions joue le rôle structurel inverse d'une fonctionnelle à sortie scalaire. ## Limite Limite S'applique aux applications dont le domaine est un espace de fonctions muni d'une topologie ou d'une structure algébrique spécifiée ; exclut les fonctions définies point par point et les opérateurs dont le codomaine est un espace de fonctions sauf si on compose avec une évaluation pour obtenir un scalaire. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre fonctionnelles et opérateurs linéaires : les deux agissent sur des espaces de fonctions mais diffèrent par leur codomaine (scalaires vs fonctions) ; de plus, le terme se recoupe avec 'fonctionnelle' en programmation où la sémantique est différente. ## Synthèse Synthèse Une fonctionnelle est une mesure à valeur scalaire sur un espace de fonctions qui capture des propriétés globales pour l'analyse et l'optimisation ; sa signification dépend de la structure du domaine et des exigences de régularité pour la différentiation et la dualité.