## [Correspondencia de McKay](/es/node/61421) Definición Una relación que conecta acciones de grupos finitos sobre espacios vectoriales complejos (en particular subgrupos finitos de SL(2,C) y análogos en dimensiones superiores) con invariantes geométricos y de teoría de representaciones de las singularidades de cociente y sus resoluciones, a menudo asociando representaciones irreducibles a componentes de una resolución o a objetos en categorías derivadas. ## Principio Principio La idea nuclear asigna datos algebraicos (representaciones irreducibles del grupo) a datos geométricos (divisores excepcionales, componentes de la resolución, u objetos en categorías derivadas) de modo que multiplicidades y combinatoria representacionales reflejen estructuras de intersección y cohomológicas de la resolución. ## Demostración Demostración En dimensión dos, un subgrupo finito de SL(2,C) produce la singularidad de cociente C2/G cuya resolución mínima tiene un divisor excepcional cuyo grafo dual es un diagrama de Dynkin ADE; los nodos corresponden a las representaciones irreducibles no triviales de G, ilustrando la correspondencia clásica de McKay. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la correspondencia simple uno-a-uno se extiende sin cambios a dimensiones superiores o a acciones que no preservan el volumen (fuera de SL), o tratar resoluciones no crepantes como si satisficieran el mismo emparejamiento; tales extensiones ingenuas suelen fallar o requieren enriquecimientos categóricos. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona un puente entre teoría de representaciones de grupos y geometría algebraica: los invariantes de representación informan sobre la geometría de las resoluciones y viceversa, conduciendo a clasificaciones de singularidades, cálculos de cohomología y descubrimientos empleados en matemáticas inspiradas por teorías físicas. ## Inversión Inversión Desde el lado geométrico, rasgos de una resolución crepante (lugar excepcional, matriz de intersección, generadores de la categoría derivada) pueden usarse para reconstruir o etiquetar representaciones del grupo que actúa, convirtiendo invariantes geométricos en datos de representación. ## Límite Límite Se comprende mejor en bajas dimensiones (clásicamente en dimensión dos) y en contextos con resoluciones crepantes o mínimas; en dimensiones superiores o en situaciones no crepantes la correspondencia debe refinarse (por ejemplo mediante categorías derivadas o resoluciones no conmutativas). ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre la versión clásica en diagramas ADE y las reformulaciones modernas en categorías derivadas o no conmutativas; es sutil decidir si la correspondencia es literal (nodo ↔ representación) o categorial (equivalencia de categorías derivadas). ## Síntesis Síntesis La correspondencia de McKay relaciona datos de representaciones de un grupo finito con la geometría de las singularidades de cociente y sus resoluciones identificando representaciones con piezas geométricas u objetos generadores categoriales, traduciendo así la estructura algebraica en información geométrica y cohomológica concreta.