## [Transformada de Fourier–Mukai](/es/node/61411) Definición Un funtor integral entre categorías derivadas acotadas de haces coherentes en variedades algebraicas definido por un objeto (el núcleo) en el producto, que con frecuencia produce equivalencias y transporta información geométrica a través de categorías derivadas. ## Principio Principio La regla organizadora es que un núcleo en X×Y define un funtor D^b(Coh(X)) → D^b(Coh(Y)) mediante el pullback al producto, el tensor con el núcleo y el pushforward; cuando este funtor es una equivalencia (o plenamente fiel), codifica una relación profunda entre las geometrías de X y Y. ## Demostración Demostración Ejemplo clásico: el fibrado de Poincaré en A× induce la equivalencia Fourier–Mukai entre las categorías derivadas de una variedad abeliana compleja A y su dual Â; otras demostraciones incluyen equivalencias derivadas inducidas por núcleos asociados a flops o espacios moduliores de haces estables. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la receta push–pull de forma ingenua fuera del marco derivado o con núcleos que no satisfacen las condiciones de finitud o planitud requeridas; asumir que cualquier funtor exacto entre categorías derivadas proviene de un núcleo Fourier–Mukai sin verificar la representabilidad (existencia de contraejemplos en contextos no proyectivos). ## Consecuencia Consecuencia Cuando existe, una transformada de Fourier–Mukai traslada invariantes cohomológicos y categóricos entre variedades, da lugar a invariantes derivados de la geometría biracional y subyace a muchas dualidades e identificaciones de módulos en geometría algebraica. ## Inversión Inversión La transformada inversa (o adjunta) viene dada por un núcleo en Y×X relacionado por dualidad derivada con el núcleo original; invertir intercambia los roles de fuente y destino y corresponde geométricamente a la relación inversa entre las variedades cuando existe una equivalencia. ## Límite Límite Se formula con mayor solidez para variedades proyectivas lisas y categorías derivadas acotadas de haces coherentes; requiere la properidad adecuada, dimensión de Tor finita y finitud cohomológica para los núcleos, y no se aplica genéricamente a categorías trianguladas arbitrarias o contextos de haces no coherentes. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión aparece entre llamarlo una «transformada» (sugiriendo una construcción funtorial que puede ser no invertible) y una «equivalencia» (una isomorfía categórica bidireccional): algunos núcleos producen equivalencias mientras que otros solo dan funtores plenamente fieles o de interés, de modo que la terminología oculta un espectro de comportamientos. ## Síntesis Síntesis Una Transformada de Fourier–Mukai es la transformación integral derivada definida por un núcleo sobre el producto de variedades; bajo condiciones de finitud y dualidad produce equivalencias de categorías derivadas que reflejan y relacionan las geometrías algebraicas subyacentes.