##  [Lema de Yoneda](/es/node/61397) 

 Definición

Afirmación de la teoría de categorías que establece que para cualquier categoría localmente pequeña C, objeto A en C y fonctor F: C^op → Set, existe una biyección natural entre transformaciones naturales Hom_C(-,A) ⇒ F y los elementos del conjunto F(A); esta biyección es natural en A y en F y produce la inmersión de Yoneda de C en la categoría de fonctores [C^op,Set].

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los objetos se determinan por cómo otros objetos se mapean hacia ellos: sondear A mediante Hom(-,A) codifica sus relaciones y convierte las transformaciones naturales en elementos concretos del valor del fonctor en A.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En la categoría de conjuntos, con A = {0,1} y F = Hom_Set(-,A), una transformacion natural η: Hom(-,A) ⇒ F corresponde exactamente al elemento η_A(id_A) ∈ F(A), ilustrando la correspondencia. Más abstractamente, los presheafs representables corresponden a su objeto representante mediante esta biyección.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Interpretar el lema como una identificación de los objetos en sí en lugar de una identificación de las aplicaciones hacia fonctores; por ejemplo, concluir Hom(-,A) = F como fonctores cuando solo coincide un elemento punto a punto sin comprobar la naturalidad o la biyección completa.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Una categoría se inserta plena y fielmente en su categoría de presheafs vía A ↦ Hom(-,A), de modo que las propiedades invariantes por isomorfismo de objetos se estudian como propiedades de sus fonctores representables; muchas demostraciones de unicidad se reducen a verificar la igualdad de transformaciones naturales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir la varianza: considerar Hom(A,-) (Hom covariante) conduce a enunciados análogos pero con varianza distinta y a una inmersión distinta (C → [C,Set]) — cambian las condiciones de naturalidad y la estructura relevante.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una categoría localmente pequeña para que los Hom sean conjuntos y los fonctores tengan por codominio Set; el lema se aplica a transformaciones naturales entre presheafs con valores en Set y no garantiza por sí solo que cualquier presheaf sea representable.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Entre 'elemento de F(A)' y 'transformación natural Hom(-,A) ⇒ F': la tensión es que un punto parece menos que una familia natural de mapas, pero Yoneda muestra que, con naturalidad, son equivalentes.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El lema de Yoneda sintetiza la idea de que un objeto queda completamente descrito por las flechas hacia él: los fonctores representables Hom(-,A) actúan como sondas que convierten transformaciones naturales en elementos concretos, proporcionando una inmersión fiel que traduce relaciones categóricas en datos de conjuntos respetando la naturalidad.