## [Álgebra de Conos](/es/node/61383) Definición Un cálculo pseudodiferencial adaptado a variedades con singularidades cónicas aisladas que captura el comportamiento de los operadores cerca del vértice del cono mezclando símbolos de tipo Mellin en la variable radial con símbolos pseudodiferenciales estándar en la sección (link); diseñado para construir parametrices y describir propiedades de mapeo en espacios de Sobolev ponderados. ## Principio Principio Sustituir las expansiones de símbolos estándar cerca de un punto liso por una combinación de símbolos Mellin radiales y símbolos angulares sobre la sección, de modo que el cálculo respete la simetría de dilatación del cono y codifique las expansiones asintóticas en el vértice. ## Demostración Demostración Para un cono métrico exacto (0,1)_r × Y con un operador tipo Laplaciano, el álgebra de conos expresa el operador como r^{-2} multiplicado por una familia Mellin en el dual complejo de log r acoplada a un operador en la sección Y; esta formulación produce parametrices que controlan las asintóticas de las soluciones y las expansiones del resolvente. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar el cálculo pseudodiferencial estándar ignorando la estructura cónica cerca del vértice; esto omite términos singulares esenciales, produce parametrices incorrectos y no capta el dominio ni las propiedades de Fredholm correctas. ## Consecuencia Consecuencia Mediante el álgebra de conos se obtienen parametrices precisos, fórmulas de índice y asintóticas del resolvente para operadores elípticos cónicos, además de una descripción clara de los dominios en escalas de Sobolev ponderadas; permite tratar el espectro indicial y los datos de extensión autoadjunta. ## Inversión Inversión En una variedad lisa sin singularidades cónicas el álgebra de conos se reduce al cálculo pseudodiferencial estándar; si las singularidades son más complejas (por ejemplo, aristas), el álgebra de conos no basta y debe sustituirse por un cálculo más fino. ## Límite Límite Destinada a singularidades cónicas aisladas o vecindarios cónicos exactos; excluye aristas o cúspides estratificadas donde la geometría exige el cálculo de arista o cálculos cuspídales y distintas descomposiciones de símbolos. ## Tensión semántica Tensión semántica Muy relacionada con el b-calculus y el cálculo de arista; la tensión semántica surge al elegir el cálculo más adecuado para una geometría singular dada, ya que cada marco enfatiza diferentes particiones de variables (radial vs tangencial) y operadores modelo distintos. ## Síntesis Síntesis El álgebra de conos es un marco pseudodiferencial a medida que combina análisis de Mellin en dirección radial con estructura pseudodiferencial angular en la sección, proporcionando parametrices y resultados de mapeo que reflejan fielmente las asintóticas cónicas.