## [Partición de la Unidad](/es/node/61287) Definición Una familia {φ_i} de funciones continuas (a menudo suaves) en un espacio topológico tal que en cada punto solo finitamente muchas φ_i son no nulas (localmente finita), el soporte de cada φ_i está contenido en un miembro de una cubierta abierta dada, y la suma sobre i de φ_i es la función constante 1 en todo el espacio. ## Principio Principio Las particiones de la unidad permiten localizar problemas globales: subordinan construcciones globales a una cubierta abierta, posibilitando el pegado de datos locales en objetos globales controlando soportes y regularidad. ## Demostración Demostración En una variedad suave, escoger una refinación localmente finita de la cubierta abierta y construir funciones bump no negativas soportadas en la refinación cuya suma normalizada sea uno; usar estas funciones para pegar formas diferenciales locales en una forma global que coincida localmente con los datos dados. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Intentar usar una familia no localmente finita de funciones, no respetar la contención de soportes en la cubierta prescrita o asumir existencia en espacios no paracompactos conduce a construcciones inválidas. ## Consecuencia Consecuencia Se pueden extender objetos locales a globales, definir integrales localizando en cartas, construir particiones de la unidad suaves subordinadas a cualquier cubierta abierta en variedades paracompactas, y realizar argumentos de local a global en análisis y geometría. ## Inversión Inversión La noción opuesta sería cubrir con funciones características de una partición de conjuntos (discontinuas, no suaves) que no permiten pegado suave; invertir la exigencia de sumar uno produce descomposiciones útiles para cancelación de errores pero no para la localización en la unidad. ## Límite Límite Existe bajo hipótesis de paracompacidad para variedades topológicas y suaves; no todo espacio topológico admite particiones de la unidad suaves, y las particiones se construyen típicamente con la diferenciabilidad correspondiente a la categoría (continua, C^k, suave). ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde 'partición de la unidad' (suave, sumando uno) con particiones combinatorias de un conjunto (funciones indicadoras disjuntas); la tensión está entre suavidad y local finitud frente a descomposición puramente combinatoria. ## Síntesis Síntesis Una partición de la unidad es una familia localmente finita de funciones con soporte controlado que suma a uno y permite transferir construcciones locales a objetos globales mediante pegado ponderado, disponible bajo paracompacidad y adaptada al grado de regularidad deseado.