##  [Ley de Inercia de Sylvester](/es/node/61278) 

 Definición

Afirmación de clasificación para formas cuadráticas reales (o matrices simétricas reales hasta congruencia): toda matriz simétrica real es congruente a una diagonal con entradas 1, −1 y 0, y los números de entradas positivas, negativas y nulas (la firma) son invariantes independientes de la matriz representante elegida.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Invariancia de la firma bajo congruencia real: transformar una matriz simétrica por A ↦ P^T A P con P invertible real conserva los recuentos de autovalores positivos, negativos y nulos, por lo que la firma clasifica las formas cuadráticas sobre R hasta congruencia.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Dada una matriz simétrica real se realizan transformaciones por congruencia (procedimientos de pivote tipo Gram–Schmidt) para diagonalizarla en diag(I_p, −I_q, 0_r); el triple (p,q,r) es la inercia o firma. Por ejemplo, una forma cuadrática no degenerada en tres variables puede tener firma (2,1,0).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir la invariancia por congruencia con la invariancia por semejanza (datos espectrales): los autovalores no se preservan bajo congruencia arbitraria; aplicar la ley de Sylvester sobre cuerpos sin orden (p. ej. C) donde la positividad no tiene sentido es inválido.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una clasificación completa de las formas cuadráticas reales hasta cambio de base por matrices reales invertibles, posibilitando representantes canónicos, determinación de definitud y recuentos invariantes usados en optimización, geometría diferencial y mecánica.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Sobre los complejos, toda forma hermítica no singular es congruente a la identidad (solo importa el rango), lo que destaca que sobre cuerpos sin orden la inercia se reduce a información de rango en lugar de una firma con signo.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a matrices simétricas reales (o formas cuadráticas reales) bajo congruencia por matrices reales invertibles; no se aplica directamente a matrices no simétricas, a la clasificación por semejanza, ni a cuerpos sin estructura de orden sin reinterpretación.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con el teorema espectral: la diagonalización espectral por semejanza ortogonal preserva autovalores y estructura ortogonal, mientras que la diagonalización por congruencia de Sylvester preserva la firma pero no los autovalores; ambas clasificaciones responden a problemas de equivalencia distintos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La Ley de Inercia de Sylvester establece que la firma (conteo de direcciones positivas, negativas y nulas) es el invariante completo de una forma cuadrática real bajo congruencia real: toda matriz simétrica puede reducirse a una forma diagonal con recuentos fijos de ±1 y 0, clasificando así su inercia.