##  [Teorema de Jordan–Hölder](/es/node/61264) 

 Definición

Teorema que afirma que para cualquier grupo o módulo de longitud finita, dos series de composición cualesquiera tienen factores simples isomorfos salvo reordenamiento; equivalentemente, el multiconjunto de factores de composición y la longitud de composición son invariantes del objeto.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Aunque las series de composición pueden diferir en los subobjetos intermedios, los bloques simples y sus multiplicidades están determinados de forma única hasta orden e isomorfismo, de modo que los constituyentes 'atómicos' son invariantes mientras que las filtraciones no lo son.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para el grupo S3 una serie de composición es {e} ⊲ A3 ⊲ S3 con factores simples A3/{e} ≅ C3 y S3/A3 ≅ C2; cualquier otra serie de composición de S3 produce el mismo multiconjunto de cocientes simples {C3, C2} quizá en distinto orden, mostrando el teorema.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Creer que Jordan–Hölder permite reconstruir el objeto: suponer que dos grupos (o módulos) con el mismo multiconjunto de factores deben ser isomorfos; esto es falso, existen extensiones no isomorfas con los mismos factores de composición.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona invariantes bien definidos (longitud de composición y multiconjunto de factores simples) usados en problemas de clasificación y comparación, y garantiza que los argumentos de refinamiento terminan con los mismos constituyentes atómicos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si el teorema fallara, distintas series de composición podrían producir multiconjuntos distintos de factores simples, haciendo la noción de 'constituyentes simples' indefinida e impidiendo invariantes estables basadas en esos factores.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere objetos de longitud finita (módulos con serie de composición finita o grupos finitos con serie normal cuyos cocientes sucesivos sean simples); no se aplica a objetos de longitud infinita ni a series que no sean de composición.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Jordan–Hölder suele contraparse con el refinamiento de Schreier: Schreier garantiza refinamientos comunes de dos series mientras Jordan–Hölder garantiza la unicidad de los factores simples; la tensión es entre existencia de refinamientos y unicidad de los constituyentes atómicos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Jordan–Hölder reconcilia la no unicidad de las filtraciones con la unicidad de la estructura atómica: aunque distintas series de composición presenten pasos intermedios diferentes, todas descomponen el objeto en los mismos bloques simples con las mismas multiplicidades.