## [Dimensión de Krull](/es/node/61240) Definición La dimensión de Krull de un anillo conmutativo es el supremo de las longitudes n de cadenas de ideales primos P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn; proporciona una medida algebraica de 'dimensión' que con frecuencia corresponde a la dimensión geométrica de Spec del anillo. ## Principio Principio Medir la dimensión por la longitud máxima de cadenas estrictamente crecientes de ideales primos, codificando así la estratificación del espectro y la estructura de codimensión disponible en el anillo. ## Demostración Demostración Un campo tiene dimensión de Krull 0 porque su único ideal primo es (0); el anillo de polinomios k[x1,...,xn] sobre un campo tiene dimensión de Krull n, correspondiente a cadenas (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ ... de primos; un dominio de valoración discreta tiene dimensión de Krull 1. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la dimensión de Krull de forma ingenua en anillos no conmutativos sin adaptar la definición, o confundirla con la dimensión de espacio vectorial o con dimensiones homológicas; también tratar la dimensión de Krull como si se comportara bien bajo cocientes arbitrarios sin comprobar los efectos sobre cadenas de primos. ## Consecuencia Consecuencia La dimensión de Krull gobierna muchas propiedades estructurales y geométricas: da la dimensión de Spec, controla el comportamiento de cadenas de cerrados irreducibles, interactúa con la profundidad, la regularidad y las fórmulas de dimensión, y guía la intuición geométrica en geometría algebraica. ## Inversión Inversión El enfoque invertido estudia anillos de dimensión cero o artinianos donde la dimensión de Krull es 0, destacando un comportamiento algebraico discreto de tipo finito en lugar de una estructura geométrica de mayor dimensión. ## Límite Límite Definida para anillos conmutativos (con 1) mediante ideales primos; puede ser infinita para algunos anillos, y en contextos no conmutativos o más exóticos se requieren nociones modificadas (por ejemplo, Gelfand–Kirillov o dimensiones homológicas) en lugar de la dimensión de Krull clásica. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre la dimensión de Krull y otras nociones de 'dimensión' (dimensión de espacio vectorial, dimensión global, dimensión homológica, dimensión geométrica/topológica): coinciden en muchos casos regulares Noetherianos pero pueden divergir en contextos singulares, infinitos o no conmutativos. ## Síntesis Síntesis La dimensión de Krull captura la noción algebraico-geométrica de dimensión contando cadenas máximas de ideales primos en un anillo conmutativo; conecta la estratificación primoidal del anillo con la dimensión geométrica de su espectro, exigiendo atención a hipótesis de Noetherianidad y diferencias con otras nociones de dimensión.