##  [Número de Betti](/es/node/61216) 

 Definición

Un entero no negativo igual al rango de un grupo de homología en una dimensión dada; cuenta ciclos independientes de dimensión k módulo bordes (la parte libre del grupo de homología, vista sobre Z o sobre un campo de coeficientes elegido).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los números de Betti cuantifican los 'huecos' topológicos midiendo la parte libre (rango) de los grupos de homología, proporcionando invariantes algebraicos estables bajo homotopía.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para el toro T^2 los números de Betti son b0=1, b1=2, b2=1; para la esfera S^2 son b0=1, b1=0, b2=1. En homología persistente, los números de Betti a una escala fija cuentan ciclos independientes persistentes a esa escala.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Contabilizar elementos de torsión como si contribuyeran a los números de Betti (no lo hacen), omitir especificar el anillo o campo de coeficientes (el rango puede depender de ello), o tratar los números de Betti como invariantes completos de la forma.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los números de Betti dan cotas inferiores para los rangos de ciclos, aparecen en la característica de Euler mediante sumas alternadas y sirven como descriptores calculables e invariantes por homotopía en clasificación y topología aplicada.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La perspectiva inversa se centra en la torsión en la homología: un espacio con números de Betti nulos en todas las dimensiones positivas aún puede tener torsión no trivial; números de Betti altos no reflejan la torsión.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definidos cuando existen los grupos de homología (simplicial, singular, celular, etc.); para espacios con homología de tipo no finito los rangos pueden ser infinitos y hay que especificar dimensión y coeficientes.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre números de Betti y otros invariantes como los subgrupos de torsión, la característica de Euler (combinación alternada de números de Betti) y invariantes más finos como la homología persistente o homología con distintos coeficientes.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un número de Betti es el recuento entero de los huecos independientes de dimensión k detectados por el rango de la homología en un sistema de coeficientes dado, resumiento algebraicamente la conectividad en dimensión k.