## [Variedad Algebraica](/es/node/61145) Definición Un objeto geométrico definido como el conjunto de soluciones de ecuaciones polinómicas sobre un cuerpo y provisto de la topología de Zariski; en términos clásicos suele considerarse un esquema reducido, separado y de tipo finito sobre un cuerpo, posiblemente irreducible (variedad integral) o reducible. ## Principio Principio Capturar la geometría mediante ecuaciones polinómicas: el anillo de coordenadas y sus ideales codifican propiedades geométricas, la dimensión y las aplicaciones entre variedades mediante morfismos algebraicos. ## Demostración Demostración Una variedad afín V(I) ⊂ A^n_k definida por un ideal I ⊂ k[x_1,...,x_n] tiene anillo de coordenadas k[x_1,...,x_n]/I; las variedades proyectivas surgen de ecuaciones homogéneas en el espacio proyectivo y se pegan a partir de piezas afines. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que todo esquema de tipo finito sobre un cuerpo es una variedad (ignorando esquemas no reducidos o la separabilidad), o tratar las variedades únicamente sobre cuerpos algebraicamente cerrados cuando el comportamiento aritmético sobre cuerpos generales importa. ## Consecuencia Consecuencia Las variedades permiten el uso de herramientas algebraicas (anillos de coordenadas, teoría de la dimensión, morfismos, mapas racionales) y sustentan nociones geométricas como la suavidad, las singularidades y la teoría de intersecciones sobre un cuerpo. ## Inversión Inversión Esquema general o espacio analítico: relajar la condición de reducido, finitud o de base cuerpo conduce a esquemas con nilpotentes, esquemas formales o espacios analíticos donde las ecuaciones polinómicas se sustituyen por series de potencias convergentes. ## Límite Límite Típicamente restringida a esquemas reducidos de tipo finito sobre un cuerpo y a menudo asumida separada; excluye esquemas sobre anillos generales, stacks, esquemas formales y la mayoría de espacios analíticos o trascendentes. ## Tensión semántica Tensión semántica Variedad frente a esquema: las variedades son clásicas, a menudo reducidas y sobre un cuerpo; los esquemas son más amplios, admiten nilpotentes y anillos base aritméticos — la elección depende de los fenómenos que se quiera capturar. ## Síntesis Síntesis Una variedad algebraica es un lugar geométrico recortado por polinomios sobre un cuerpo, cuyo anillo de coordenadas codifica su estructura algebraica; como esquema reducido de tipo finito proporciona un marco clásico pero flexible para el estudio de la geometría algebraica.