## [Semántica Functorial](/es/node/61090) Definición Un enfoque que interpreta una categoría sintáctica (que presenta una teoría o lenguaje) como una clase de objetos en una categoría semántica mediante funtores que preservan la estructura sintáctica exigida por la teoría; los modelos son los funtores que realizan las operaciones sintácticas como mapeos semánticos que conservan la estructura. ## Principio Principio Codificar las reglas de formación sintáctica y los dispositivos de inferencia como estructura categórica, y dar la semántica mediante funtores que preservan esa estructura desde la categoría sintáctica hacia una categoría semántica escogida, de modo que la composicionalidad y las operaciones conmutan con la interpretación. ## Demostración Demostración Para una teoría ecuacional presentada por operaciones y ecuaciones se construye una pequeña categoría cuyos objetos son contextos finitos y cuyas flechas son clases de equivalencia de términos; un modelo es un funtor preservador de productos desde esa categoría hacia la categoría de conjuntos que asigna a cada tipo un conjunto y a cada operación una función que respeta las ecuaciones. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar cualquier asignación de símbolos sintácticos a valores semánticos como sémantica functorial sin comprobar que la asignación preserva la estructura categórica (p. ej., productos, identidades, composición), con lo que se incumplen ecuaciones o reglas composicionales. ## Consecuencia Consecuencia Aplicada correctamente, la semántica functorial produce modelos composicionales y modulares de teorías, reduce la construcción de modelos a operaciones categóricas universales y hace que las transformaciones entre modelos correspondan a morfismos categóricos naturales. ## Inversión Inversión En vez de interpretar la sintaxis como objetos en una categoría semántica, invertir la dirección y preguntar qué presentaciones sintácticas son inducidas por estructuras semánticas dadas; esto enfatiza la generación de sintaxis por la semántica más que la interpretación de la sintaxis. ## Límite Límite Se aplica cuando la sintaxis puede organizarse como una categoría con las características estructurales a preservar (productos finitos, estructura monoide, etc.); excluye descripciones semánticas que no puedan expresarse mediante funtores (p. ej., semántica puramente estadística sin estructura composicional) o casos donde no exista una categoría sintáctica fiel. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con las aproximaciones model-theoretic que presentan los modelos como conjuntos de asignaciones de verdad en lugar de funtores; la tensión es entre tratar los modelos como estructuras basadas en conjuntos y tratarlos como mapeos que preservan la estructura desde un objeto sintáctico canónico. ## Síntesis Síntesis La semántica functorial es la prescripción categórica: empaquetar una teoría como una categoría sintáctica y realizar sus modelos como funtores hacia una categoría semántica de modo que la composición sintáctica y las restricciones estructurales queden exactamente reflejadas por la imagen functorial.