## [Clausura Definible](/es/node/61024) Definición Dada una estructura M y un subconjunto A, el cierre definible dcl(A) es el conjunto de todos los elementos de M que quedan especificados de forma única (en M) por alguna fórmula de primer orden con parámetros en A; equivale a los elementos fijados por todo automorfismo de M que fija A punto por punto. ## Principio Principio La dependencia definible se captura por definibilidad y unicidad en primer orden: un elemento pertenece a dcl(A) exactamente cuando su propiedad puede expresarse de manera que ningún otro elemento distinto satisface la misma fórmula definitoria con parámetros en A. ## Demostración Demostración En un cuerpo algebraicamente cerrado, el cierre definible del conjunto vacío es el cuerpo primo (p. ej. Q en característica 0) porque esos elementos son definibles sin parámetros; en contraste, el cierre algebraico contiene conjugados múltiples mientras que dcl exige unicidad. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir dcl con el cierre algebraico (acl) o con el cierre por consecuencia sintáctica; por ejemplo, asumir que todo elemento algebraico pertenece a dcl(A) cuando puede tener varios A‑conjugados y por tanto solo estar en acl(A). ## Consecuencia Consecuencia Identificar correctamente dcl(A) ofrece control sobre Aut(M/A), parámetros canónicos y la definibilidad interna de objetos; es central en argumentos sobre eliminación de imaginarios y sobre qué elementos son 'nombrados' por A. ## Inversión Inversión La inversión contrasta dcl con acl: donde dcl exige especificación única, la noción contraria (acl) permite un número finito de realizaciones; pasar de dcl a acl debilita la unicidad y admite órbitas finitas bajo automorfismos que fijan A. ## Límite Límite Depende del lenguaje y de la expresibilidad en primer orden; dcl puede cambiar con expansiones del lenguaje y no contempla automáticamente imaginarios a menos que se trabaje en M^eq; excluye elementos definibles solo hasta elecciones finitas. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre definibilidad (unicidad sintáctica) y nociones algebraicas de dependencia: dcl es más fino y rígido que acl, y surge fricción cuando las intuiciones modelo‑teóricas y algebraicas de 'determinado por A' divergen. ## Síntesis Síntesis El cierre definible de A consiste en aquellos elementos de la estructura que están determinados de forma única por A mediante fórmulas de primer orden: los elementos invariantes bajo todos los automorfismos que fijan A, proporcionando una noción precisa de dependencia definible.