## [Teorema de Compacidad de Rellich–Kondrachov](/es/node/60636) Definición Un teorema que afirma que ciertos empotramientos de espacios de Sobolev (por ejemplo W^{1,p}(Ω) en L^q(Ω) o C^0(Ω) bajo relaciones adecuadas de exponentes y regularidad) son compactos cuando el dominio Ω es acotado y tiene regularidad suficiente. ## Principio Principio El control tanto de normas como de oscilaciones proporcionado por cotas sobolevianas junto con el lema de Rellich produce precompacidad: las sucesiones acotadas en la norma soboleviana más fuerte admiten sub‑sucesiones convergentes en la norma objetivo más débil porque las derivadas restringen las oscilaciones a pequeña escala. ## Demostración Demostración En un dominio acotado con borde Lipschitz Ω, toda sucesión acotada en H^1_0(Ω) tiene una sub‑sucesión que converge fuertemente en L^2(Ω); esto se usa para extraer sub‑sucesiones convergentes en pruebas variacionales de existencia para EDP elípticas. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir compacidad en dominios no acotados, en exponentes críticos donde el empotramiento es continuo pero no compacto, o para sucesiones sin control uniforme (por ejemplo, concentración de masa que escapa al borde) conduce a afirmaciones erróneas de compacidad. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona la compacidad clave necesaria para pasar a límites en EDP no lineales y problemas variacionales, permitiendo la existencia de soluciones débiles y la justificación del paso al límite en términos no lineales. ## Inversión Inversión La situación inversa es un empotramiento meramente continuo (no compacto) donde sucesiones acotadas pueden no tener sub‑sucesiones que converjan fuertemente, dejando persistir fenómenos de oscilación o concentración en el límite. ## Límite Límite Exige un dominio acotado y relaciones apropiadas entre orden Sobolev, dimensión del dominio y exponentes de integrabilidad; la regularidad del dominio (por ejemplo Lipschitz o C^1) suele asumirse y los casos fraccionarios o críticos requieren tratamiento separado. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con contraejemplos en el exponente crítico de Sobolev y con los marcos de concentración‑compacidad que refinan la pérdida de compacidad debida a invariancias por traslación o dilatación; esos marcos explican los fracasos donde Rellich–Kondrachov no se aplica. ## Síntesis Síntesis Rellich–Kondrachov formaliza cómo el control soboleviano de derivadas impone compacidad en los empotramientos sobre dominios acotados y regulares, suministrando el mecanismo de compacidad que subyace a muchas pruebas de existencia y convergencia en teoría de EDP.