##  [Principio de Grandes Desviaciones](/es/node/60616) 

 Definición

Un marco que describe cómo las probabilidades de eventos raros decrecen exponencialmente con un parámetro de escala, caracterizado por una función de tasa I semicontinua inferiormente que gobierna cotas exponenciales asintóticas superiores e inferiores para familias de medidas de probabilidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Escalado exponencial asintótico: las probabilidades de resultados atípicos escalan como exp(−n I(x)) para n grande, donde I mide la improbabilidad de estados y encapsula el costo dominante de una desviación.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para muestras independientes e idénticamente distribuidas, la media empírica satisface cotas exponenciales: la probabilidad de que la media empírica caiga en un conjunto A decrece aproximadamente como exp(−n inf_{x∈A} I(x)), donde I es la función de tasa de tipo Legendre obtenida a partir de la función generadora de cumulantes. Esto da estimaciones asintóticas precisas para colas más lejanas que la escala del teorema central.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar estimaciones de grandes desviaciones para tamaños de muestra pequeños o finitos sin control de error, o usar una función de tasa incorrecta cuando existen dependencias o escalados distintos; asumir que probabilidades puntuales son iguales a la aproximación exponencial en lugar de tasas asintóticas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Permite cuantificar rigurosamente eventos extremadamente improbables, justifica estimaciones de error exponenciales en mecánica estadística y teoría de la información, y guía el muestreo por importancia y la simulación de eventos raros identificando las regiones de contribución dominante.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

A escala de difusión o del teorema central, las probabilidades se comportan como colas gaussianas con prefactores polinomiales en lugar de tasas puramente exponenciales; por tanto, LDP describe el régimen de colas lejanas complementario a los regímenes de desviaciones moderadas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un régimen de escala (a menudo n→∞), tightness exponencial o condiciones de compacidad y una función de tasa bien definida; puede fallar o volverse poco informativo para n finito, escalado no exponencial o en ausencia de una buena función de costo macroscópica.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Compite conceptualmente con el teorema central y resultados de desviaciones moderadas que describen fluctuaciones en escalas menores; LDP enfatiza probabilidades exponencialmente pequeñas y un costo variacional, mientras que el TCL enfatiza la aproximación gaussiana y la varianza.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Principio de Grandes Desviaciones ofrece una descripción variacional y en tasas exponenciales de eventos raros: una función de tasa asigna un costo a cada estado atípico y las probabilidades se concentran exponencialmente alrededor de los minimizadores de ese costo al crecer el parámetro de escala.