## [Cota Inferior de Cramér–Rao](/es/node/60609) Definición Una cota inferior sobre la varianza (o matriz de covarianza) de cualquier estimador insesgado de un parámetro, expresada en términos de la información de Fisher: para un parámetro escalar Var(theta_hat) ≥ 1 / I(theta); en forma multivariante la matriz de covarianza está acotada por debajo por la inversa de la matriz de información de Fisher bajo condiciones de regularidad. ## Principio Principio Derivada de la desigualdad de Cauchy–Schwarz aplicada a la función score, la desigualdad de información cuantifica cómo la curvatura de la log-verosimilitud (información de Fisher) limita la precisión alcanzable por estimadores insesgados. ## Demostración Demostración Estimar la media de una normal con varianza conocida: la media muestral es insesgada y alcanza Var = sigma^2 / n, que coincide con la cota de Cramér–Rao calculada a partir de la información de Fisher, ilustrando la alcanzabilidad cuando existe un estimador eficiente. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la cota para estimadores sesgados, para parámetros en el borde del espacio paramétrico o cuando fallan las condiciones de regularidad (diferenciabilidad bajo el signo de integral, información de Fisher finita); calcular incorrectamente la información de Fisher produce cotas engañosas. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona un referente fundamental de eficiencia: si un estimador insesgado alcanza la cota se le denomina eficiente; la cota guía la comparación de estimadores y la teoría asintótica (por ejemplo, el MLE alcanza la cota asintóticamente bajo regularidad). ## Inversión Inversión En modelos donde la cota no es alcanzable, o cuando se permite sesgo para reducir el error cuadrático medio, la cota de Cramér–Rao no es alcanzable ni el único criterio; en entornos bayesianos, los criterios de riesgo posterior o de Bayes sustituyen la cota frecuentista. ## Límite Límite Válida bajo condiciones de regularidad y diferenciabilidad para familias parametrizadas y estimadores insesgados; no se aplica a todos los estimadores, puede ser laxa en muestras finitas y falla en modelos singulares o con información de Fisher infinita. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con otras cotas inferiores (p. ej., Bhattacharyya, Hammersley–Chapman–Robbins) y con cotas que permiten estimadores sesgados o criterios minimax; la tensión surge entre optimalidad paramétrica y alcanzabilidad práctica. ## Síntesis Síntesis La Cota Inferior de Cramér–Rao usa la información de Fisher para fijar un límite teórico a la varianza de estimadores insesgados bajo regularidad; ofrece un punto de referencia para eficiencia y optimalidad asintótica, admitiendo casos en que no es alcanzable o no es apropiada.