##  [Teorema de Gauss–Markov](/es/node/60607) 

 Definición

El resultado que establece que, en el modelo clásico de regresión lineal con errores de media cero, no correlacionados y homocedásticos, el estimador por mínimos cuadrados ordinarios (OLS) de los coeficientes de regresión es el mejor estimador lineal insesgado (BLUE), es decir, tiene la menor varianza entre todos los estimadores lineales insesgados.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Bajo las condiciones de Gauss–Markov, el problema de estimación es una proyección en un espacio de Hilbert de las observables sobre el espacio columna de los regresores; la insesgadez lineal junto con la ortogonalidad al espacio de residuos conduce a la varianza mínima dentro de los estimadores lineales.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En una regresión lineal simple con término independiente y errores i.i.d. de varianza común, los estimadores OLS de pendiente e intercepto son funciones lineales de las respuestas observadas; puede demostrarse por álgebra de varianzas que cualquier otro estimador lineal insesgado tendrá matriz de covarianza igual o mayor, mostrando la propiedad BLUE.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema garantiza optimalidad en clases no lineales (se limita a estimadores lineales) o que la normalidad es necesaria; emplear OLS como BLUE cuando los errores son heterocedásticos, autocorrelacionados o cuando los regresores son endógenos invalida la conclusión.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Justifica el uso de OLS para estimación y motiva las fórmulas de errores estándar y la inferencia bajo las hipótesis indicadas; indica cuándo se requieren estimadores alternativos (mínimos cuadrados ponderados, GLS, variables instrumentales) si fallan las condiciones.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si se viola la homocedasticidad o la independencia, OLS deja de estar garantizado como minimizador de varianza entre estimadores lineales insesgados; GLS u otros estimadores pueden dominar, invirtiendo la afirmación BLUE.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica únicamente a estimadores lineales dentro del modelo lineal clásico con momentos segundos finitos y las condiciones de error especificadas; no aborda la eficiencia entre estimadores no lineales o sesgados, ni proporciona optimalidad en muestras finitas fuera de la clase lineal.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se contrapone a la noción de eficiencia de Cramér–Rao, que trata la cota inferior para todos los estimadores insesgados en modelos paramétricos; Gauss–Markov restringe la atención a estimadores lineales y no exige supuestos distribucionales como la normalidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Gauss–Markov afirma que, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados bajo errores de media cero, no correlacionados y homocedásticos, OLS minimiza la varianza; es una afirmación de optimalidad basada en proyección y dependiente de hipótesis, que guía la elección de estimador y señala recurrir a GLS o IV si se incumplen las condiciones.