##  [Núcleo Integral](/es/node/60496) 

 Definición

Una función K(x,y) que aparece bajo el signo de integral para acoplar una variable fuente y con una variable de campo o evaluación x, definiendo así una transformación integral u operador integral que toma funciones de y y produce funciones de x.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Un núcleo integral codifica cómo los valores en un punto contribuyen a valores en otro mediante integración; las propiedades de K (simetría, regularidad, separabilidad, singularidades) determinan la continuidad, el suavizado y las propiedades espectrales del operador asociado.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

El núcleo de convolución K(x,y)=k(x-y) define una transformación invariante por traslaciones (f * k)(x)=∫ k(x-y)f(y) dy; la función de Green G(x,y) de un operador diferencial actúa como núcleo integral que mapea fuentes en soluciones.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier función de dos variables como un núcleo bien comportado sin verificar integrabilidad, acotamiento o singularidades distribuciónales (por ejemplo asumir que una función de Green singular define un operador acotado en L2 sin aclaración).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Con un núcleo suficientemente regular se obtiene un operador lineal acotado o compacto cuyas propiedades (suavizado, rango, espectro) se derivan de la estructura del núcleo; entonces son válidos desarrollos en autovalores y técnicas de cuadratura numérica.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La multiplicación puntual por una función a(x) no es un operador integral no local: corresponde a un núcleo tipo δ, K(x,y)=a(x)δ(x-y), poniendo en contraste la acción local con el acoplamiento integral no local.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

El término se refiere a núcleos que aparecen en transformadas integrales y operadores sobre espacios medibles o funcionales; excluye usos no relacionados de 'núcleo' como el espacio nulo algebraico de una aplicación lineal, salvo que se hable explícitamente de un núcleo de dos variables.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión semántica entre 'núcleo' como función integral, 'núcleo' reproducidor en RKHS (con positividad) y 'núcleo' algebraico/espacio nulo; las nociones se solapan pero requieren hipótesis distintas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un núcleo integral es la regla K(x,y) de dos variables que especifica cómo se ensamblan por integración las contribuciones en y para obtener el valor en x; sus rasgos analíticos y algebraicos gobiernan la regularidad, invertibilidad y el comportamiento numérico del operador asociado.