##  [Núcleo](/es/node/60475) 

 Definición

Para un homomorfismo entre estructuras algebraicas (o una aplicación lineal entre espacios vectoriales), el núcleo es el subconjunto del dominio que se envía al elemento identidad (o cero) del codominio; mide el fallo de inyectividad del morfismo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Capturar los elementos que se anulan bajo la aplicación: el núcleo es un subobjeto (subgrupo, subespacio, ideal, subgrupo normal) cerrado bajo las operaciones del dominio y caracteriza clases de congruencia que conducen a cocientes.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si f : G → H es un homomorfismo de grupos, ker(f) = {g ∈ G | f(g) = e_H} es un subgrupo normal de G; el primer teorema de isomorfía identifica G/ker(f) con la imagen f(G), mostrando cómo el núcleo controla la inyectividad.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Confundir núcleo con imagen o asumir que un núcleo trivial implica sobreyectividad; un núcleo trivial significa inyectividad (ningún elemento no trivial se manda a la identidad) pero no informa sobre si la aplicación alcanza todos los elementos del codominio.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Determina propiedades de exactitud en sucesiones, permite la formación de estructuras cociente donde el núcleo se convierte en la clase cero y proporciona un invariante algebraico que clasifica homomorfismos hasta isomorfismo.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La idea dual es el cokernel (cociente categórico o en teoría de módulos), que mide el fallo de la sobreyectividad al cocientar el codominio; el núcleo se centra en la inyectividad y en los preimágenes de la identidad.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se define para mapas que preservan identidad/cero en categorías algebraicas; para funciones arbitrarias se puede considerar la preimagen de un elemento elegido pero sin propiedades de cierre algebraico el término 'núcleo' pierde contenido estructural.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre núcleo y espacio nulo/ideal de anulación en distintos contextos: son análogos pero llevan una estructura dependiente del contexto (p. ej. subgrupo normal vs ideal vs subespacio lineal) que debe respetarse.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El núcleo es el subconjunto estructurado del dominio que se envía a la identidad (o cero) del codominio, intrínseco a cuestiones de inyectividad, formación de cocientes y exactitud, y adaptado a la categoría algebraica del homomorfismo.