##  [Relación de Equivalencia](/es/node/60469) 

 Definición

Una relación binaria sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y transitiva; particiona el conjunto en clases de equivalencia disjuntas cuyos miembros son indistinguibles respecto de la relación.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Definir un criterio de indistinguibilidad imponiendo reflexividad (cada elemento se relaciona consigo mismo), simetría (la relación es mutua) y transitividad (la relación se propaga), de modo que las clases formen una partición.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

En los enteros Z, definir a ~ b si y solo si a − b es divisible por n; esta congruencia módulo n es reflexiva, simétrica y transitiva, y Z se divide en n clases de equivalencia etiquetadas por los residuos 0,...,n−1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar equivalencia a una relación que carece de alguna de las tres propiedades (por ejemplo asumir simetría cuando solo existe antisimetría) conduce a construcciones de cociente inválidas y clasificaciones erróneas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Produce un conjunto cociente de clases de equivalencia; la proyección canónica envía elementos a su clase y muchas construcciones (grupos cociente, espacios factor) dependen de esta partición.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La noción inversa es un orden parcial o un preorden: suprimir la simetría o sustituirla por antisimetría da lugar a estructuras tipo orden en lugar de particionar en clases simétricas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un conjunto subyacente único y las tres propiedades; las relaciones entre conjuntos distintos, los preórdenes unilaterales, medidas de similitud sin transitividad o similitudes probabilísticas quedan fuera de este ámbito.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre equivalencia (indistinguibilidad categórica) y nociones de similitud o distancia: dos elementos pueden estar 'cerca' sin satisfacer las condiciones estrictas de transitividad y simetría de una equivalencia.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una relación de equivalencia es el mecanismo formal que colapsa un conjunto en clases disjuntas de elementos indistinguibles imponiendo reflexividad, simetría y transitividad, permitiendo cocientes canónicos y descripciones reducidas.