## [Submersión](/es/node/60461) Definición Una aplicación suave f : M -> N entre variedades diferenciables cuya diferencial df_p es suprayectiva en cada punto p de M; localmente se comporta como una proyección desde un producto, reduciendo la dimensión al producir imágenes tangentes completas en los puntos del objetivo. ## Principio Principio La suprayectividad de la diferencial es la idea organizadora: una submersión tiene rango igual a dim N en todas partes, lo que confiere propiedades de trivialidad local (por el teorema de la submersión) y permite cubrir el objetivo con imágenes de cartas locales donde f parece la proyección sobre las últimas coordenadas. ## Demostración Demostración La proyección canónica R^{n+k} -> R^n es el modelo de submersión; ejemplos más geométricos incluyen la proyección de un producto de variedades M × N -> N o una submersión suprayectiva de un grupo de Lie a un espacio homogéneo, que presenta localmente el dominio como un producto fibrado. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir una submersión con una aplicación cociente o asumir que las fibras son puntos es incorrecto: las fibras de una submersión son subvariedades (de dimensión complementaria) y pueden ser no triviales; además, la suprayectividad de la aplicación en sí es independiente de la suprayectividad de la diferencial. ## Consecuencia Consecuencia Una submersión correcta produce estructuras locales de producto, asegura que las preimágenes de valores regulares son subvariedades y sustenta construcciones tipo fibration y bundles; habilita técnicas como slicing y reducción por simetría. ## Inversión Inversión El reverso conceptual enfatiza diferenciales inyectivas (inmersiones) o mapas críticos donde la diferencial deja de ser suprayectiva, generando fibras singulares y obstáculos a la descomposición local en producto. ## Límite Límite La submersión tiene sentido solo en la categoría suave con espacios tangentes; excluye mapas continuos sin diferenciabilidad, y el teorema requiere a menudo hipótesis adicionales de regularidad y conexidad para conclusiones globales. ## Tensión semántica Tensión semántica La submersión compite semánticamente con fibración y aplicación cociente: aunque toda fibración tiene comportamiento local de producto, no toda submersión es una fibración globalmente; asimismo, las aplicaciones cociente pueden proyectar sin satisfacer suprayectividad diferencial. ## Síntesis Síntesis Una submersión es el mapa de tipo proyección en geometría diferencial: sus diferenciales suprayectivas producen fibras que son subvariedades y proporcionan una descomposición local en producto del dominio sobre el objetivo, constituyendo la base de muchas construcciones en geometría y análisis global.