## [Inmersión](/es/node/60459) Definición Una aplicación suave f : M -> N entre variedades diferenciables cuya diferencial df_p es inyectiva en cada punto p de M; localmente la aplicación incrusta los espacios tangentes y sitúa M en N sin pliegues infinitesimales, aunque puedan ocurrir autointersecciones globales. ## Principio Principio La inyectividad de la diferencial es la regla organizadora: una inmersión preserva la información de dimensión local (rango = dim M) y proporciona localmente una incrustación de los espacios tangentes; su existencia y comportamiento están restringidos por desigualdades de dimensión y por la clase de diferenciabilidad. ## Demostración Demostración Un ejemplo elemental es la inmersión en forma de ocho de S^1 en R^2 dada por una aplicación periódica suave adecuada; otro ejemplo es la inclusión de una subvariedad, que es una inmersión que se vuelve incrustación cuando la inclusión es inyectiva y un homeomorfismo sobre su imagen. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que toda inmersión es una incrustación es un error habitual: las inmersiones no tienen por qué ser globalmente inyectivas ni propias, así que afirmaciones que requieren un homeomorfismo sobre la imagen (por ejemplo para transferir invariantes topológicos globales) pueden fallar. ## Consecuencia Consecuencia Usada correctamente, una inmersión garantiza cartas locales de variedad sobre la imagen y permite tirar atrás tensores y formas diferenciales; soporta construcciones basadas en incrustación local, como argumentos de transversalidad y ciertas técnicas de cirugía. ## Inversión Inversión El reverso conceptual son las aplicaciones con diferenciales degeneradas (puntos críticos) o las submersiónes: en lugar de la inyectividad en tangentes, se estudia la sobreyectividad (comportamiento de proyección) o el fallo de inyectividad que conduce a singularidades. ## Límite Límite La inmersión pertenece a la categoría suave/diferenciable con un funtor tangente bien definido; excluye incrustaciones puramente topológicas o inyecciones continuas sin estructura diferenciable y depende de la clase de diferenciabilidad (C^k, C^, etc.). ## Tensión semántica Tensión semántica La inmersión entra en tensión con la incrustación: ambas son nociones locales de «insertar» una variedad en otra, pero la incrustación añade inyectividad global y compatibilidad topológica; también compite con la noción más débil de homeomorfismo local en topología. ## Síntesis Síntesis Una inmersión es la inserción local, a nivel diferencial, de una variedad en otra: asegura un comportamiento tangencial inyectivo en cada punto, permitiendo identificar geométricamente el dominio dentro del codominio localmente, mientras admite patologías globales como autointersecciones.