## [Conjugación](/es/node/60457) Definición Una relación binaria sobre los elementos de un grupo (o una estructura algebraica con elementos invertibles) en la que dos elementos a y b son conjugados si existe un invertible g con a = g b g^{-1}; las clases de equivalencia se denominan clases de conjugación. ## Principio Principio La conjugación está regida por los automorfismos interiores: conjugar por un elemento define un automorfismo del grupo, y estas aplicaciones interiores particionan el grupo en órbitas (clases de conjugación) cuyos estabilizadores son centralizadores. ## Demostración Demostración En el grupo simétrico S3, todas las transposiciones son conjugadas: por ejemplo (12) = (13)(23)(13)^{-1}, por lo que las tres transposiciones forman una sola clase de conjugación; en GL(n), dos matrices son conjugadas exactamente cuando representan la misma aplicación lineal en distintas bases (similitud). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la conjugación como igualdad literal o como conmutatividad —por ejemplo afirmar que a y b conjugados implica a = b, o que elementos conjugados conmutan— es incorrecto y oculta la naturaleza de acción del grupo por conjugación. ## Consecuencia Consecuencia El uso correcto de la conjugación produce invariantes y herramientas de clasificación: funciones de clase, tablas de caracteres, el centro (elementos que solo son conjugados consigo mismos) y la relación entre clases de conjugación y subgrupos normales mediante criterios de unión de clases. ## Inversión Inversión La inversión del concepto es la centralidad: en vez de relacionar elementos por cambio de coordenadas, se puede preguntar cuándo los elementos son fijados por todas las conjugaciones (pertenecen al centro) o, a la inversa, estudiar coclases que identifican elementos sin pasar por conjugaciones internas. ## Límite Límite La conjugación se define en contextos con noción de invertibilidad (grupos, groupoides, operadores lineales invertibles); análogos ingenuos en semigrupos o contextos no invertibles requieren definiciones ajustadas y pueden no producir relaciones de equivalencia con las mismas propiedades. ## Tensión semántica Tensión semántica La conjugación entra en tensión semántica con la similitud en álgebra lineal y con otras relaciones de equivalencia: la similitud es una instancia concreta (matrices bajo cambio de base), mientras que otras equivalencias de órbitas pueden confundirse con conjugación si el grupo actuante no es interior. ## Síntesis Síntesis La conjugación concentra la idea de «lo mismo hasta un cambio de coordenadas» en una relación de equivalencia generada por automorfismos interiores: identifica elementos con comportamiento interno equivalente, organiza la estructura en clases y centralizadores y proporciona el lenguaje de invariantes en teoría de representaciones y clasificación.