##  [Homeomorfismo](/es/node/60439) 

 Definición

Una biyección continua entre dos espacios topológicos cuya inversa también es continua; establece una equivalencia topológica que preserva abiertos, propiedades de continuidad e invariantes topológicos.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Si existe una biyección bicontinua entre espacios, son equivalentes como espacios topológicos: todas las propiedades invariantes bajo deformación continua (conectividad, compacidad, género) se corresponden mediante la aplicación.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

El ejemplo clásico es la equivalencia topológica entre una taza con asa y un toro: existe una deformación continua reversible que convierte una en otra sin romper la continuidad, por lo que son homeomorfos y comparten un agujero (género uno).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier biyección continua es un homeomorfismo sin comprobar la continuidad de la inversa — por ejemplo la identidad de R con la topología estándar hacia R con la topología de intervalos semiabiertos puede ser continua en un sentido pero no en el inverso, así que no es homeomorfismo.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando los espacios son homeomorfos, coinciden sus invariantes topológicos y se pueden trasladar mapas continuos, argumentos de compacidad y propiedades de separación a través del homeomorfismo; intuitivamente tienen la misma 'forma'.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una aplicación biyectiva y continua cuya inversa no es continua demuestra la ausencia de equivalencia topológica aunque la aplicación sea uno a uno y sobre; tales aplicaciones no preservan la estructura de abiertos en ambas direcciones.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

El homeomorfismo se limita a la categoría topológica: ignora estructuras adicionales como la diferenciabilidad o la métrica. Dos variedades homeomorfas no tienen por qué ser difeomorfas, y las propiedades métricas pueden diferir.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

El homeomorfismo se encuentra entre equivalencias más groseras (sobreyecciones continuas, equivalencia por homotopía) y más finas (difeomorfismo, isometría); la tensión surge al decidir si interesa la forma hasta deformación continua o la estructura geométrica más fina.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un homeomorfismo es una biyección bicontinua que identifica dos espacios topológicos como equivalentes para la topología al preservar abiertos, continuidad e invariantes topológicos.