## [Isomorfismo](/es/node/60438) Definición Una aplicación biyectiva entre dos objetos matemáticos que preserva la estructura relevante (operaciones, relaciones o elementos distinguidos) y cuya inversa también preserva esa estructura; identifica los objetos como idénticos respecto de la estructura considerada. ## Principio Principio Dos objetos se consideran equivalentes en un marco formal dado cuando existe una biyección entre ellos que conmuta con las operaciones o relaciones que definen la estructura, haciendo que todas las propiedades expresables en esa estructura correspondan. ## Demostración Demostración En teoría de grupos, la aplicación f: Z4 → {1,a,a^2,a^3} que envía k (mod 4) a a^k es un isomorfismo: es biyectiva y f(k+l)=f(k)f(l), por lo que la operación de grupo se preserva y la inversa también conserva la estructura. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar cualquier biyección entre los conjuntos subyacentes como un isomorfismo sin comprobar la preservación de la estructura — por ejemplo emparejar arbitrariamente los elementos de dos anillos y afirmar isomorfismo de anillos — ignoraría la compatibilidad de suma y producto. ## Consecuencia Consecuencia Si existe un verdadero isomorfismo, todas las afirmaciones estructurales expresables en el lenguaje de la estructura (ecuaciones, relaciones de orden, invariantes homológicos) corresponden exactamente entre los objetos; se pueden transferir construcciones y pruebas mediante la aplicación. ## Inversión Inversión Una biyección que no preserva la estructura — p. ej. una biyección entre grupos que no respeta la ley de grupo — demuestra no ser isomorfismo pese a la correspondencia uno a uno. ## Límite Límite Se aplica dentro de una categoría o firma especificada: lo que cuenta como preservación de la estructura depende de las operaciones y relaciones elegidas. Un isomorfismo en la categoría de conjuntos puede no serlo en la de grupos, espacios topológicos o variedades diferenciables. ## Tensión semántica Tensión semántica El isomorfismo compite conceptualmente con la mera biyección y con equivalencias más débiles (homomorfismo, incrustación); la tensión es si se exige igualdad de estructura (isomorfismo) o una correspondencia más débil (p. ej. equivalencia por homotopía). ## Síntesis Síntesis Un isomorfismo es la aplicación biyectiva y preservadora de estructura (con inversa que también preserva la estructura) que identifica dos objetos matemáticos como equivalentes para la estructura considerada.