##  [Polo](/es/node/60407) 

 Definición

Un tipo de singularidad aislada de una función compleja en la que la función diverge como una potencia recíproca de orden finito de la coordenada local; localmente la función se comporta como (z−z0)^{-m} por un factor holomorfo no nulo para algún entero positivo m.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los polos representan divergencias controladas y algebraicas: el orden m cuantifica la velocidad de crecimiento cerca de la singularidad y permite el cálculo de partes principales y residuos para integrales de contorno.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

La función g(z)=1/(z−a)^2 tiene un polo de orden 2 en z=a; cerca de a es igual a (z−a)^{-2} y su expansión de Laurent tiene una parte principal finita con términos hasta (z−a)^{-2}.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar una singularidad esencial como un polo o asumir que toda divergencia es un polo conduce a cálculos de residuos erróneos y a una clasificación local incorrecta; las singulares esenciales tienen infinitos términos de potencia negativa y comportamiento cualitativamente distinto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Reconocer polos y su orden permite calcular residuos, clasificar funciones meromorfas y comprender la continuación analítica y el comportamiento de mapeo cerca de singularidades.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Las singularidades contrastantes son la removible (sin divergencia) y la esencial (divergencia muy irregular); los polos se sitúan entre las removibles y las esenciales en la clasificación clásica de singularidades aisladas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a singularidades aisladas en análisis complejo; excluye singularidades no aisladas y divergencias en contextos no complejos salvo que existan expansiones tipo Laurent. La noción de polo presupone la factorización holomorfa local.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Existe tensión entre ver el polo como comportamiento local de Laurent y conceptos globales como el orden del cero de la función recíproca; también entre la noción coloquial de 'valor infinito' y la precisa idea algebraica de divergencia de orden finito.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un polo es una singularidad aislada donde una función se comporta con una divergencia algebraica controlada: caracterizado por una parte principal finita en (z−z0)^{-m}, es esencial para la teoría de residuos y la clasificación meromorfa.