## [Punto Aislado](/es/node/60403) Definición Un punto de un conjunto que tiene una vecindad que no contiene otros puntos del conjunto; equivalente a un punto del conjunto que no es un punto de acumulación. ## Principio Principio El aislamiento significa discreción local: el conjunto no se agrupa en el punto porque existe una región abierta alrededor del mismo libre de otros miembros del conjunto. ## Demostración Demostración En el conjunto {0} ∪ {1/n : n ∈ N} en la recta real, cada 1/n es aislado por un intervalo suficientemente pequeño que excluye a otros 1/m, mientras que 0 no es aislado porque los 1/n se acumulan en él. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Asumir que los puntos aislados son despreciables en argumentos topológicos puede ser incorrecto: pueden cambiar propiedades de compacidad o conexidad (unos pocos puntos aislados pueden romper la conexidad o afectar el cierre). ## Consecuencia Consecuencia Identificar puntos aislados separa componentes discretas de estructuras de cúmulos, simplifica análisis locales (por ejemplo definir funciones por sus valores en puntos aislados) y aclara propiedades de convergencia de sucesiones. ## Inversión Inversión La noción inversa es la acumulación: puntos cuyas vecindades contienen otros miembros del conjunto. Donde existe aislamiento, la acumulación falla localmente. ## Límite Límite Se aplica en cualquier topología; excluye nociones de aislamiento medidas por distancia a menos que la topología sea métrica. Un punto aislado puede seguir siendo punto de la frontera del conjunto si su vecindad también interseca el complemento. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión con 'punto discreto' y 'átomo' en teoría de la medida: un punto aislado es una noción topológica y no implica necesariamente medida positiva o atomicidad algebraica. ## Síntesis Síntesis Un punto aislado es un miembro de un conjunto que permanece solo en alguna vecindad: un elemento localmente discreto que indica ausencia de agrupamiento en ese lugar.