## [Punto de Acumulación](/es/node/60401) Definición Un punto tal que cada vecindad suya contiene al menos un punto del conjunto dado distinto del propio punto (o infinitos puntos, según la convención); equivalente: un punto del cierre sin ocurrencias aisladas. ## Principio Principio Los puntos de acumulación señalan donde un conjunto se agrupa: sin importar cuán pequeña sea la vecindad, se encuentran otros miembros del conjunto arbitrariamente cerca del punto, indicando comportamiento límite o presencia local densa. ## Demostración Demostración Para el conjunto {1/n : n ∈ N} en la recta real, 0 es un punto de acumulación porque toda vecindad de 0 contiene algún 1/n, mientras que cada 1/n no es necesariamente punto de acumulación si no hay otros 1/m arbitrariamente próximos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar punto de acumulación a todo punto del cierre ignorando puntos aislados conduce a errores; por ejemplo, tratar puntos de un conjunto finito como de acumulación falsea argumentos sobre continuidad o compacidad. ## Consecuencia Consecuencia Reconocer puntos de acumulación es esencial para definiciones de límite, criterios de compacidad (como la compacidad secuencial) y para describir el comportamiento de agrupamiento de sucesiones y conjuntos en topología y análisis. ## Inversión Inversión La noción opuesta es el punto aislado: un punto que tiene una vecindad que no contiene otros puntos del conjunto; donde falla la acumulación, el conjunto es localmente discreto. ## Límite Límite Definido en espacios topológicos; las convenciones difieren sobre si la acumulación exige infinitos puntos en cada vecindad o solo otro punto distinto. No implica densidad en sentido medible ni multiplicidad algebraica salvo que se precise. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre 'punto límite' (basado en sucesiones), 'punto de cúmulo' (uso en análisis) y 'punto de acumulación' (término topológico); algunos textos exigen infinitos puntos cercanos, otros aceptan la presencia de un punto distinto. ## Síntesis Síntesis Un punto de acumulación es donde un conjunto se concentra sin aislarse: cada vecindad contiene otros miembros del conjunto, marcando ubicaciones de comportamiento límite o agrupamiento en contextos topológicos y analíticos.