## [Lema de los Cinco](/es/node/60350) Definición Un resultado de seguimiento de diagramas en álgebra homológica: dado un diagrama conmutativo formado por dos sucesiones exactas A1→A2→A3→A4→A5 y B1→B2→B3→B4→B5 y flechas verticales f_i: A_i→B_i, si f1, f2, f4 y f5 son isomorfismos y se cumplen las hipótesis apropiadas de sobreyectividad/inyectividad, entonces f3 es un isomorfismo. ## Principio Principio La exactitud combinada con la conmutatividad permite que la información local sobre cuatro morfismos contiguos obligue a la invertibilidad del morfismo central mediante el rastreo de núcleos e imágenes a través del diagrama. ## Demostración Demostración En topología algebraica se comparan las sucesiones exactas largas de un par (X,A) con las de (Y,B) inducidas por una aplicación (X,A)→(Y,B). Si las cuatro aplicaciones exteriores inducidas en homología son isomorfismos y se verifica la sobreyectividad/inyectividad necesaria en los grados adyacentes, el Lema de los Cinco da que la aplicación inducida en el grado central es un isomorfismo. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicarlo cuando las sucesiones no son exactas, el diagrama no conmuta, o las flechas presumidas son sólo biyecciones de conjuntos (no homomorfismos de grupos/módulos): cualquiera de estas fallas invalida el recorrido de núcleos/imágenes y puede producir conclusiones falsas. ## Consecuencia Consecuencia Permite promover isomorfismos locales al isomorfismo global en la posición central de una sucesión exacta, simplificando pruebas de que ciertos objetos derivados u homológicos coinciden bajo una aplicación. ## Inversión Inversión La recíproca no es válida en general: que el morfismo central sea un isomorfismo no implica que los cuatro exteriores lo sean. Un resultado relacionado es el Four Lemma, que obtiene inyectividad o sobreyectividad de una flecha a partir de esas propiedades en otras, pero no el isomorfismo total. ## Límite Límite Requiere exactitud en el sentido de categorías abelianas (o al menos sucesiones exactas en grupos/módulos), conmutatividad estricta del diagrama y las hipótesis de sobreyectividad/inyectividad; no se aplica directamente en contextos no abelianos sin hipótesis adicionales. ## Tensión semántica Tensión semántica Estrechamente relacionado con el Snake Lemma y el Nine Lemma; el Lema de los Cinco está orientado al isomorfismo central, mientras que el Snake Lemma construye morfismos de conexión y sucesiones exactas a partir de núcleos y cokernels — técnicas comunes, propósitos distintos. ## Síntesis Síntesis El Lema de los Cinco es una herramienta de seguimiento de diagramas: bajo exactitud y conmutatividad, el patrón de isomorfismos y morfismos unilaterales alrededor de la flecha central obliga a que ésta sea un isomorfismo, permitiendo deducir equivalencia de objetos centrales a partir de equivalencias en los bordes.