##  [Pequeño Teorema de Fermat](/es/node/60319) 

 Definición

Teorema elemental de teoría de números que afirma que para un primo p y un entero a con p no dividiendo a se tiene a^{p-1} ≡ 1 (mod p); equivalentemente a^p ≡ a (mod p) para todo entero a.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El grupo multiplicativo de unidades módulo un primo p tiene orden p−1, así que cualquier elemento a con gcd(a,p)=1 tiene orden que divide p−1, produciendo la congruencia a^{p-1} ≡ 1 (mod p).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: a=2, p=7 da 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7). Una prueba grupal usa que {1,a,a^2,...,a^{p-2}} permuta las clases residuales no nulas modulo p; al multiplicar se obtiene a^{p-1} ≡ 1.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar la congruencia como prueba de primalidad bicondicional: números compuestos pueden satisfacer a^{n-1} ≡ 1 (mod n) para ciertas bases (números de Carmichael o pseudoprimos), y el teorema falla si gcd(a,p) ≠ 1.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Base de muchos argumentos en aritmética modular, tests de primalidad y algoritmos simples, y se generaliza al teorema de Euler para módulos compuestos mediante φ(n).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La recíproca ingenua 'si a^{n-1} ≡ 1 (mod n) para muchas a entonces n es primo' es falsa; la inversión correcta es que si la congruencia falla para algún a se certifica la compositeness, pero pasarla no garantiza primalidad.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que p sea primo y gcd(a,p)=1 para la formulación a^{p-1} ≡ 1; la variante a^p ≡ a vale para todo a módulo p. No se aplica a módulos compuestos sin reemplazar p−1 por φ(n).

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con el teorema de Euler y con tests probabilísticos de primalidad; hay tensión entre la congruencia determinista y la existencia de pseudoprimos que imitan el comportamiento primo para muchas bases.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Pequeño Teorema de Fermat conecta la estructura algebraica de los residuos multiplicativos módulo un primo con congruencias simples: las unidades tienen orden que divide p−1, de donde a^{p-1} ≡ 1 (mod p) y derivan numerosas aplicaciones en teoría de números.