##  [Teorema de Hahn-Banach](/es/node/60301) 

 Definición

Colección de teoremas de extensión que afirman que un funcional lineal acotado definido en un subespacio de un espacio vectorial normado puede extenderse al espacio entero sin aumentar su norma; más generalmente, funcionales lineales dominados por un funcional sublineal pueden extenderse preservando la dominación.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Los funcionales lineales pueden prolongarse de dominios menores a dominios mayores preservando la norma o las condiciones de dominación; el argumento explota convexidad y el lema de Zorn (o formas equivalentes del axioma de elección) en formulaciones abstractas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Uso concreto: dado un funcional lineal continuo definido en un subespacio unidimensional generado por x en un espacio normado, Hahn‑Banach provee una extensión al espacio entero manteniendo la misma norma; esto se utiliza para separar un punto de un subespacio cerrado mediante un funcional continuo.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que Hahn‑Banach produce extensiones únicas, fórmulas constructivas o que produce funcionales que alcanzan la norma en todo espacio de Banach es un mal uso. También es indebido confiar en él en marcos que rechazan el axioma de elección, pues la prueba estándar lo emplea.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Genera funcionales lineales continuos no triviales en muchos espacios, sustenta los teoremas de separación, la teoría de la dualidad y topologías débiles; es una herramienta fundacional en análisis funcional y análisis convexo.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Si no existiera un principio de extensión, los espacios duales se reducirían y fracasarían los resultados de separación; la inversión resalta lo crucial que es la extensión para la riqueza de los duales continuos y la separación geométrica en dimensiones infinitas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a funcionales lineales y dominaciones por funcionales sublineales en espacios vectoriales sobre R o C; distintas versiones requieren hipótesis diferentes (espacios normados, espacios localmente convexos). No se extiende a operadores no lineales ni garantiza unicidad algebraica ni construcción explícita en todos los casos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la forma algebraica (demostrable sin topología) y las versiones analíticas que preservan la norma (que implican topología y elección), y entre la existencia de extensiones y su naturaleza no constructiva.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Hahn‑Banach encapsula el principio de que la información lineal acotada dada en un subespacio puede extenderse coherentemente a todo el espacio sin aumentar su tamaño, aportando la columna vertebral analítica y geométrica de la dualidad y la separación en análisis funcional.