##  [Teorema Fundamental del Álgebra](/es/node/60295) 

 Definición

Afirmación de que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja; equivalentemente, todo polinomio de grado n en C se factoriza como producto de n factores lineales contando multiplicidades.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El cierre algebraico del cuerpo de los números complejos garantiza que las ecuaciones polinómicas posean raíces: las propiedades algebraicas de C obligan a la factorización en factores lineales.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: el polinomio p(z)=z^2+1 tiene raíces complejas i y −i, y z^3−1 se factoriza como (z−1)(z−e^{2πi/3})(z−e^{4πi/3}), mostrando la existencia de raíces y la factorización completa.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema sobre los reales para concluir que todo polinomio real tiene una raíz real; por ejemplo x^2+1 no tiene raíces reales. Otro mal uso es afirmar que siempre existe una fórmula cerrada para las raíces cuando no existe en general.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cualquier polinomio sobre C puede reducirse a factores lineales, lo que implica existencia de valores propios para matrices complejas, factorización completa y muchos resultados estructurales en álgebra y análisis.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Sobre un cuerpo que no es algebraicamente cerrado como R, los polinomios no constantes pueden carecer de raíces; invertir el enunciado muestra que el cierre algebraico es la hipótesis esencial.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a polinomios con coeficientes complejos y grado ≥1. No rige para polinomios constantes, ni para polinomios sobre cuerpos no algebraicamente cerrados, ni garantiza fórmulas constructivas generales para las raíces.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

El teorema asegura existencia pero no trata la efectividad computacional ni la representación en forma cerrada de las raíces; tensión entre existencia teórica y métodos efectivos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que C es algebraicamente cerrado para polinomios de una variable: la existencia de al menos una raíz conduce a la factorización lineal completa y fundamenta numerosos resultados en álgebra y análisis.