##  [Rango](/es/node/60275) 

 Definición

El rango de una aplicación lineal (o matriz) es la dimensión de su imagen (espacio de columnas); equivalentemente, el número máximo de columnas o filas linealmente independientes en cualquier matriz que represente la aplicación.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Calcular el rango encontrando dim Im(A) o el número de columnas pivote en una forma escalonada reducida. Para una aplicación V → W con dominio de dimensión finita, rango ≤ dim(dominio).

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para A = [[1,2,3],[2,4,6],[0,0,1]] la segunda fila es el doble de la primera y la tercera es independiente, así que el espacio columna tiene dimensión 2 y rango(A) = 2.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Equiparar rango con el número de entradas no nulas de una matriz, o asumir que un determinante nulo indica exactamente cuántas direcciones independientes se han perdido sin más análisis.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

El rango determina propiedades de solvencia de sistemas lineales (existencia de soluciones, dimensión del espacio de soluciones), la dimensión de imágenes de transformaciones lineales y participa directamente en el teorema rango–nulidad.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

El concepto complementario es la nulidad: mientras el rango mide la dimensión de la imagen, la nulidad mide la dimensión del núcleo; juntos suman la dimensión del dominio en dimensiones finitas.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Generalmente formulado para espacios vectoriales y matrices de dimensión finita; para operadores en dimensión infinita la noción de rango puede ser infinita o requerir aproximaciones de rango finito. El rango trata la independencia lineal, no la magnitud numérica de las entradas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con el determinante: el determinante indica si una matriz cuadrada tiene rango completo (es invertible) pero no cuantifica el rango parcial; tensión con la multiplicidad algebraica aparece al interpretar valores propios cero y sus multiplicidades.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El rango es la medida lineal del número de direcciones de salida independientes que produce una aplicación lineal; se calcula por la imagen o por pivotes, controla la solvencia y el intercambio dimensional con la nulidad, y sostiene muchos resultados estructurales sobre matrices.