##  [Conexión de Galois](/es/node/60249) 

 Definición

Un par de aplicaciones monótonas entre conjuntos parcialmente ordenados, una adjunta por la izquierda y la otra por la derecha, tales que la composición satisface desigualdades de orden en ambas direcciones (f(a) ≤ b si y solo si a ≤ g(b)); esta correspondencia enlaza operaciones de cierre y de núcleo y organiza la dualidad entre retículos y sus imágenes.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Dados posets (P, ≤) y (Q, ≤), una conexión de Galois consta de aplicaciones f: P → Q y g: Q → P que satisfacen f(p) ≤ q ⇔ p ≤ g(q). Equivalente a ello, f es el adjunto por la izquierda de g y preserva uniones existentes, mientras que g preserva intersecciones, codificando una correspondencia universal entre imágenes y preimágenes.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Las aplicaciones que envían un subconjunto A de un grupo al subgrupo generado por A y que envían un subgrupo H a su conjunto subyacente forman una conexión de Galois entre el retículo de la partes y el retículo de subgrupos; cierres y núcleos aparecen como las composiciones g∘f y f∘g.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier par de mapas ordenantes como una conexión de Galois o asumir la existencia de ambos adjuntos sin verificar la desigualdad bidireccional conduce a identificar mal los cierres y a perder propiedades universales.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Una conexión de Galois genuina produce operadores canónicos de cierre y núcleo (idempotentes, monotónicos) y descripciones universales: los adjuntos a la izquierda preservan colímites (uniones), los adjuntos a la derecha preservan límites (intersecciones), y se pueden transferir problemas entre posets mediante la adjunción.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir la conexión intercambia los adjuntos izquierdo y derecho e invierte los roles de uniones e intersecciones; conceptualmente produce la conexión de Galois dual donde el comportamiento tipo cierre se convierte en tipo núcleo y viceversa.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a posets o retículos con mapas monótonos; no exige estructura algebraica adicional como grupos, pero requiere que la desigualdad de adjunción sostenga globalmente; no todo par de mapas monótonos es una conexión de Galois.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

El término compite con 'adjuncción' de la teoría de categorías: una conexión de Galois es un caso particular de pareja adjunta restringida a posets, por lo que deben distinguirse las consecuencias específicas de orden (cierres) de los fenómenos adjuntos más generales.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una conexión de Galois es la adjunción ordenística entre dos posets dada por una aplicación monótona a la izquierda y otra a la derecha que satisfacen la desigualdad bidireccional; genera cerramientos y núcleos canónicos y permite transferir construcciones universales entre contextos.