## [Funtor Derivado](/es/node/60246) Definición Una construcción que asigna a un funtor aditivo F entre categorías abelianas (típicamente no exacto) una sucesión de funtores R^iF o L_iF (functores derivados a la derecha o a la izquierda) que miden el fallo de exactitud, obtenidos aplicando F a una resolución inyectiva o proyectiva y tomando cohomología u homología, o equivalentemente pasando al funtor derivado total en la categoría derivada. ## Principio Principio La obstrucción a la exactitud de un funtor se codifica en invariantes homológicos superiores; se calculan resolviendo objetos para que la aplicación del funtor sea homológicamente manejable y extrayendo los grados de obstrucción como grupos de homología/cohomología. ## Demostración Demostración El producto tensor − ⊗_R − es exacto por la derecha; sus funtores derivados a la izquierda son Tor_i^R(−,−). Hom_R(−,−) es exacto por la izquierda en su primer argumento; sus funtores derivados a la derecha son Ext^i_R(−,−). Se obtienen aplicando el funtor a resoluciones apropiadas y leyendo los grupos de homología. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Intentar deducir funtores derivados aplicando F a complejos que no resuelven, ignorar hipótesis de acotamiento o existencia, o equiparar la homología ingenua de un complejo arbitrario con el funtor derivado sin comprobar la invariancia por quasi-isomorfismos. ## Consecuencia Consecuencia Los funtores derivados generan sucesiones exactas largas, espectrales y otras herramientas formales (p. ej. la sucesión espectral de Grothendieck) que controlan cómo interactúan los funtores con sucesiones exactas; generalizan invariantes clásicos como Tor y Ext y son fundamentales en métodos de categorías derivadas. ## Inversión Inversión El funtor no derivado es lo que se obtiene aplicando F directamente a los objetos: ignora datos de obstrucción de orden superior y por tanto pierde la información homológica capturada por los funtores derivados. ## Límite Límite Definido en categorías abelianas (o categorías estables ∞) donde existen resoluciones proyectivas o inyectivas apropiadas o donde existen categorías derivadas; precaución en contextos no abelianos, para funtores no aditivos o al usar complejos no acotados sin un marco de modelos o de categoría derivada adecuado. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre construcciones derivadas izquierdas y derechas (elección de resoluciones proyectivas vs inyectivas), entre funtores derivados clásicos basados en resoluciones y construcciones más modernas en categorías derivadas/∞, y entre comodidad de cálculo y functorialidad conceptual. ## Síntesis Síntesis Un funtor derivado mejora un funtor clásico a un invariante homológico resolviendo sus entradas para que el fallo de exactitud se capture en homología o cohomología de grados superiores, produciendo invariantes sistemáticos (R^iF, L_iF) que gobiernan extensiones, obstrucciones y fenómenos espectrales.