## [Resolución Inyectiva](/es/node/60238) Definición Un complejo exacto I• formado por objetos inyectivos junto con un monomorfismo M → I0 que embebe el objeto o módulo M dado de modo que M → I• sea una quasi-isomorfía en grados positivos; se utiliza para calcular fonctores derivadas a la derecha aplicando un functor izquierdo-exacto a I• y tomando la homología. ## Principio Principio Sustituir un objeto por un complejo homológicamente equivalente construido con inyectivos de manera que la aplicación de funtores izquierda-exactos conserve suficiente exactitud para medir la falla de exactitud mediante grupos de homología. ## Demostración Demostración Para un R-módulo M sobre un anillo con suficientes inyectivos, escoger una resolución inyectiva 0 → M → I0 → I1 → I2 → ···; al aplicar Hom_R(−,N) se obtiene un complejo cuya cohomología en grado n es Ext^n_R(M,N). ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar una inmersión no exacta o un complejo de objetos no inyectivos e interpretar después la homología resultante como los fonctores derivados correctos a la derecha; o intentar usar una resolución inyectiva para calcular fonctores derivados a la izquierda sin dualizar. ## Consecuencia Consecuencia Las resoluciones inyectivas bien construidas proporcionan fonctores derivados a la derecha bien definidos (R^iF), sucesiones exactas largas en cohomología e invariancia a homotopía o quasi-isomorfía; permiten cálculos explícitos de Ext y de cohomología de haces en categorías adecuadas. ## Inversión Inversión La resolución proyectiva es la construcción dual: resuelve objetos por proyectivos y se usa para calcular fonctores derivados a la izquierda como Tor, en lugar de fonctores derivados a la derecha. ## Límite Límite Existe y es útil en categorías abelianas con suficientes inyectivos; en categorías sin suficientes inyectivos hay que pasar a categorías derivadas, usar estructuras de modelos inyectivas o reemplazar por otras resoluciones (p. ej. Čech o Godement para haces). La resolución no es canónica, pero es única salvo homotopía o quasi-isomorfía. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre resoluciones inyectivas mínimas o canónicas (cuando existen) y resoluciones inyectivas arbitrarias; también entre los enfoques inyectivo y proyectivo — ambos calculan fonctores derivados pero en lados opuestos (derecho vs. izquierdo) y con hipótesis de existencia distintas. ## Síntesis Síntesis Una resolución inyectiva es una inmersión homológicamente equivalente de un objeto en un complejo de inyectivos que transforma la medición de la no exactitud de un functor izquierdo-exacto en el cálculo de grupos de homología que definen los fonctores derivados a la derecha.