## [Interpretabilidad](/es/node/60142) Definición Una relación formal entre teorías en la que una teoría T es interpretable en otra S si existe una traducción definible del lenguaje de T en S que envía los axiomas de T a fórmulas demostrables en S, preservando así la demostrabilidad y consecuencia de T dentro de S. ## Principio Principio La interpretabilidad requiere una traducción (a menudo dada por fórmulas de dominio e interpretaciones de símbolos de relación/función) que preserve la derivabilidad: cuando S prueba la traducción de una sentencia, esa sentencia es consecuencia de T en la lectura interpretada, lo que permite transferir propiedades meta‑teóricas. ## Demostración Demostración Se puede interpretar la teoría de los números naturales dentro de una teoría de conjuntos dando un dominio definible (p. ej., numerales finitos de von Neumann) y fórmulas que representan suma y producto; bajo esa traducción cada axioma aritmético se vuelve demostrable en la teoría de conjuntos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir interpretabilidad con meros empotramientos de modelos, extensión conservativa, o suponer que la interpretabilidad es simétrica; usar codificaciones informales sin condiciones de definibilidad y traducción de pruebas pasa por alto los requisitos formales de la interpretabilidad. ## Consecuencia Consecuencia Si T es interpretable en S, la consistencia de T se sigue de la consistencia de S bajo condiciones suaves, y muchas propiedades sintácticas o semánticas (decidibilidad, indecidibilidad, resultados relativos de completitud) pueden transferirse o compararse mediante la interpretación. ## Inversión Inversión La interpretabilidad es típicamente asimétrica: S puede no ser interpretable en T. Invertir la relación conduce a nociones más fuertes (interpretabilidad mutua o bi‑interpretabilidad) y resalta diferencias en fortaleza expresiva o prueba‑teórica entre teorías. ## Límite Límite Se circunscribe a teorías formales de primer orden (o debidamente formalizadas) con lenguajes y sistemas de prueba precisos; excluye codificaciones informales, equivalencias puramente categóricas de categorías de modelos y traducciones sin condiciones de definibilidad. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre interpretabilidad y otras nociones de identidad teórica como equivalencia definicional o extensión conservativa: la interpretabilidad puede preservar demostrabilidad pero no identidad sintáctica ni eliminabilidad de símbolos nuevos. ## Síntesis Síntesis La interpretabilidad formaliza cuándo una teoría puede representarse fielmente dentro de otra mediante una traducción definible que preserva la demostrabilidad, proporcionando una herramienta para comparar fuerza relativa, consistencia y capacidad expresiva de teorías formales.