## [Lema Diagonal](/es/node/60110) Definición Lema sintáctico en aritmética formal que garantiza que para cualquier fórmula φ(x) existe una oración ψ tal que la teoría prueba ψ ↔ φ(⌜ψ⌝), es decir, una oración que afirma una propiedad sobre su propio número de Gödel. ## Principio Principio Arithmetizando la sintaxis y usando una codificación de auto‑sustitución computable, se pueden construir puntos fijos de operaciones sintácticas: fórmulas que, al sustituir su propio numeral por la variable libre, reproducen la propiedad buscada. ## Demostración Demostración Dada una fórmula φ(x) con una variable libre, se construye un término s que denota el número de Gödel de la fórmula obtenida al sustituir el numeral de x en φ; el lema diagonal construye ψ cuyo número de Gödel satisface ψ ↔ φ(⌜ψ⌝) dentro del sistema. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el lema en un sistema que carece de codificación de Gödel efectiva o de representabilidad de funciones computables, o confundir el lema con autorreferencia semántica en vez de verlo como una construcción sintáctica de punto fijo. ## Consecuencia Consecuencia El lema diagonal sustenta los teoremas de incompletitud de Gödel, la indefinibilidad de Tarski y la construcción de oraciones autorreferenciales utilizadas en muchos paradosos y argumentos metamatemáticos. ## Inversión Inversión Si no existiera la construcción de puntos fijos, muchas oraciones autorreferenciales (como 'esta oración es indemostrable') no podrían producirse sintácticamente y varios argumentos de incompletitud fracasarían. ## Límite Límite Requiere una teoría capaz de aritmetización (representación de la numeración de Gödel y de funciones computables básicas); no se aplica en lenguajes que no puedan representar numerales o sustitución de forma computable. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay que distinguir los puntos fijos sintácticos garantizados por el lema de la autorreferencia semántica informal: el lema es un resultado mecánico de codificación, mientras que la autorreferencia semántica implica cuestiones interpretativas sobre el significado. ## Síntesis Síntesis El lema diagonal es el mecanismo formal que crea autorreferencia sintáctica: codificando fórmulas y realizando auto‑sustitución computable, produce oraciones que hablan de sus propios códigos y permite construcciones clave de incompletitud e indefinibilidad.